Exercício 8. Mostre que sendo
um corte, então
definido acima também será um corte, e além disto, vale que
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pedido 1: Mostrar que, sendo
um corte (Dedekind cut), o conjunto definido acima também é um corte. - Pedido 2: Mostrar que vale a igualdade
Informações fornecidas (que vou usar; todas retiradas do enunciado ou da definição padrão de cortes):
-
é um corte, isto é, um subconjunto de que satisfaz: -
e . - Se
e com então (fecho para baixo). -
não tem maior elemento: para todo existe com .
-
- A definição de
que vou usar (aquela “definida acima”) é a seguinte:
Em palavras:
pertence a
se existe um racional
que não está em
e tal que
.
- A soma de cortes
(definição padrão que usarei) é o conjunto dos racionais que ficam estritamente abaixo de alguma soma de um elemento de com um de :
- O corte
(o zero) é
Passo 2
Primeira meta: mostrar que
satisfaz as três propriedades de um corte. Vou provar cada item separadamente, explicando por que cada condição é satisfeita.
Lembrete rápido do que preciso provar sobre
:
-
e . - Fecho para baixo: se
e então . - Ausência de máximo: para todo
existe com .
Vou tratar cada item em sequência, com justificativas didáticas.
Passo 3
Provar que
e
.
-
: Como , existe . Então tome qualquer racional com (por exemplo, ). Pela definição de existe o mesmo que testemunha que . Logo não é vazio. -
: Como , existe . Para esse observe que qualquer racional não pode estar em com testemunho , porque para pertencer a deveria existir com , isto é , implicando . Mas se e e é fechado para baixo, então , contradizendo . Assim nenhum pertence a . Logo não é todo .
Conclusão:
é nem vazio nem todo
.
Passo 4
Provar que
é fechado para baixo.
Se
então, por definição, existe
tal que
. Seja
com
. Então
também (pois
). Pelo mesmo
temos que
. Portanto
é fechado para baixo.
(Lição curta: a condição de pertencer a
é “existir um
que serve de cota superior negativa”, e qualquer número menor também serve.)
Passo 5
Provar que
não tem maior elemento.
Tomemos
. Então existe
com
. Como
, existe um racional
tal que
(usar densidade de
: entre dois racionais existe outro racional). Esse
satisfaz
e, portanto, pelo mesmo testemunho
, tem
. Assim dado
encontramos
com
. Logo
não tem maior elemento.
Observação didática: usamos densidade de
para “subir” um pouco dentro de
; a definição de corte exige exatamente essa propriedade (sem máximo).
Passo 6
Conclusão parcial:
satisfaz as três propriedades de corte (não vazio e não tudo, fechado para baixo e sem máximo). Portanto
é um corte. Isso resolve a primeira parte do enunciado.
Passo 7
Segunda meta: provar a igualdade
. Vou provar duas inclusões.
Primeira inclusão:
Seja
. Pela definição de soma existe
e
tais que
. Pelo fato de
existe
com
. Como
e
segue
Agora, por ser
e
, não pode acontecer
porque se
então o fecho para baixo de
implicaria
, contradizendo
. Portanto necessariamente
, o que implica
. Combinando:
Logo
, ou seja,
. Como
foi arbitrário em
, temos
.
(Explicação curta: qualquer soma de um elemento de
com um de
é estritamente negativa.)
Passo 8
Segunda inclusão:
Queremos: dado
(ou seja
), encontrar
e
com
.
Estratégia: mostrar que a família de valores
tem supremo igual a
. Isso permite, para qualquer
, escolher
e
com
. Tomando
obtemos
. Em seguida escolhemos
com
para
pequeno, de modo que
(pois
é testemunho de qualquer
) e
. Vou dar os detalhes.
Detalhes formais:
- Proposição auxiliar (intuição): para todo
existem e tais que
Prova da proposição auxiliar: seja
. Considere
(em
; a construção por cortes garante que
tem uma “fronteira” arbitrariamente aproximável por racionais). Dois casos:
- Se
tem menor elemento , então para todo e, porque não tem máximo, existem elementos arbitrariamente próximos por baixo de . Assim existe com , isto é . Tomando obtém-se o desejado. - Se
não tem menor elemento, então existem elementos de arbitrariamente próximos de por cima e há elementos de arbitrariamente próximos de por baixo (porque não tem máximo). Assim escolhemos e com , i.e. .
Este argumento usa a propriedade fundamental de um corte: a fronteira entree seu complemento pode ser aproximada por racionais de ambos os lados. Logo a proposição auxiliar está estabelecida.
- Usando a proposição: tome
, isto é . Escolha . Pelas observações acima existe e tais que
Agora escolha um racional
com
onde
é tão pequeno que ainda valha
. Isso é possível porque
implica
; escolha
com
. Então para tal
temos
Além disso, como
e
, pela definição de
segue
. Portanto existem
e
com
. Assim
(lembre que soma de cortes contém racionais estritamente menores que alguma soma; aqui temos soma estritamente maior que
, então
fica dentro do conjunto).
Como
foi arbitrário em
, obtemos
.
(Comentário didático: a ideia é aproximar a “fronteira” entre
e seu complemento por racionais de ambos os lados de modo a obter somas arbitrariamente próximas de
por baixo; assim qualquer número negativo fica estritamente abaixo de alguma soma
.)
Passo 9
Combinando as duas inclusões dos passos anteriores obtemos
Isto completa a demonstração da segunda parte.