Resolva o problema de valor inicial
usando a transformada de Lanlace.
Passo 1
Vou deixar claro o que o problema pede e quais informações ele dá.
- O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
- O que se pede: encontrar
usando a transformada de Laplace.
Dados relevantes que vamos usar (tirados diretamente do enunciado):
- O lado direito é
. - As condições iniciais são
e .]
Passo 2
Relembrando fórmulas essenciais da transformada de Laplace (aulas rápidas, sem pular etapas):
- Definição: a transformada de Laplace de uma função
é
- Transformada de derivadas (fórmula que permite transformar a EDO em equação algébrica):
Aqui
é a transformada de
;
é a variável do domínio de Laplace;
e
são as condições iniciais que aparecem explicitamente nessas fórmulas.
- Transformada de
(teorema do deslocamento):
onde
.
- Transformadas úteis (com
e que aparecerão):
- Fórmula para transformar
:
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à equação dada. Denotando
, aplicamos as fórmulas de derivadas e a transformada do lado direito.
Transformando termo a termo:
Somando:
Agora a transformada do lado direito, usando deslocamento (
,
):
Portanto obtemos a equação algébrica
Passo 4
Simplificar a equação algébrica e isolar
.
Observação útil:
. Assim a equação é
Isolando
:
Dividindo por
:
Essa forma é muito conveniente porque separa
em duas parcelas que podemos transformar de volta para o tempo.
Passo 5
Fazer a transformada inversa da primeira parcela
Escrevemos
. Então
Usando as transformadas lembradas no Passo 2:
Logo a inversa da primeira parcela é
Passo 6
Tratar a segunda parcela
Aqui usaremos a propriedade
. Defina
para simplificar a notação; então queremos inverter
Conhecemos:
portanto
Também conhecemos (derivando a transformada de
):
Queremos expressar
como combinação linear das transformadas acima e de transformadas de ordem 1. Ou seja, buscamos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos o polinômio-identidade
Comparando coeficientes em
e constantes:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente constante:
.
Resolvendo este sistema:
Portanto
Voltando às transformadas correspondentes:
Assim a inversa da segunda parcela é
Passo 7
Somar as duas partes para obter a solução completa
.
Somando:
Agrupando termos semelhantes (fatorando
):
Calcule a soma de coeficientes do seno:
Portanto a solução final é