Resolva o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+13 y=e^{-2 t} \operatorname{sen} 3 t \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=2 \end{array}\right.
usando a transformada de Lanlace.

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e quais informações ele dá.
  • O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+13y=e^{-2t}\operatorname{sen}3t,\\[4pt] y(0)=1,\qquad y^{\prime}(0)=2. \end{array}\right.
  • O que se pede: encontrar y(t) usando a transformada de Laplace.
Dados relevantes que vamos usar (tirados diretamente do enunciado):
  • O lado direito é e^{-2t}\operatorname{sen}3t.
  • As condições iniciais são y(0)=1 e y'(0)=2.]

Passo 2

Relembrando fórmulas essenciais da transformada de Laplace (aulas rápidas, sem pular etapas):
  • Definição: a transformada de Laplace de uma função y(t) é
\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}y(t)\,dt.
  • Transformada de derivadas (fórmula que permite transformar a EDO em equação algébrica):
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Aqui Y(s) é a transformada de y(t); s é a variável do domínio de Laplace; y(0) e y'(0) são as condições iniciais que aparecem explicitamente nessas fórmulas.
  • Transformada de e^{-at}f(t) (teorema do deslocamento):
\mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\}=F(s+a),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.
  • Transformadas úteis (com a=2 e b=3 que aparecerão):
\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos 3t\}=\frac{s+2}{(s+2)^{2}+9}, \qquad \mathcal{L}\{e^{-2t}\sin 3t\}=\frac{3}{(s+2)^{2}+9}.
  • Fórmula para transformar t\cdot f(t):
\mathcal{L}\{t f(t)\}=-\frac{d}{ds}\big(F(s)\big).

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace à equação dada. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, aplicamos as fórmulas de derivadas e a transformada do lado direito.
Transformando termo a termo:
\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^{2}Y(s)-s\cdot1-2,
\mathcal{L}\{4y'\}=4\big(sY(s)-y(0)\big)=4sY(s)-4,
\mathcal{L}\{13y\}=13Y(s).
Somando:
\big(s^{2}+4s+13\big)Y(s)-(s+6)=\mathcal{L}\{e^{-2t}\sin3t\}.
Agora a transformada do lado direito, usando deslocamento ( a=2, f(t)=\sin3t):
\mathcal{L}\{e^{-2t}\sin3t\}=\frac{3}{(s+2)^{2}+9}.
Portanto obtemos a equação algébrica
\big(s^{2}+4s+13\big)Y(s)-(s+6)=\frac{3}{(s+2)^{2}+9}.

Passo 4

Simplificar a equação algébrica e isolar Y(s).
Observação útil: s^{2}+4s+13=(s+2)^{2}+9. Assim a equação é
\big((s+2)^{2}+9\big)Y(s)-(s+6)=\frac{3}{(s+2)^{2}+9}.
Isolando Y(s):
\big((s+2)^{2}+9\big)Y(s)=s+6+\frac{3}{(s+2)^{2}+9}.
Dividindo por ((s+2)^{2}+9):
Y(s)=\frac{s+6}{(s+2)^{2}+9}+\frac{3}{\big((s+2)^{2}+9\big)^{2}}.
Essa forma é muito conveniente porque separa Y(s) em duas parcelas que podemos transformar de volta para o tempo.

Passo 5

Fazer a transformada inversa da primeira parcela
\frac{s+6}{(s+2)^{2}+9}.
Escrevemos s+6=(s+2)+4. Então
\frac{s+6}{(s+2)^{2}+9}=\frac{s+2}{(s+2)^{2}+9}+\frac{4}{(s+2)^{2}+9}.
Usando as transformadas lembradas no Passo 2:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+2}{(s+2)^{2}+9}\right\}=e^{-2t}\cos 3t,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{4}{(s+2)^{2}+9}\right\}=\frac{4}{3}e^{-2t}\sin 3t.
Logo a inversa da primeira parcela é
y_{1}(t)=e^{-2t}\cos 3t+\frac{4}{3}e^{-2t}\sin 3t.

Passo 6

Tratar a segunda parcela
\frac{3}{\big((s+2)^{2}+9\big)^{2}}.
Aqui usaremos a propriedade \mathcal{L}\{t f(t)\}=-\dfrac{d}{ds}F(s). Defina u=s+2 para simplificar a notação; então queremos inverter
\frac{3}{(u^{2}+9)^{2}}.
Conhecemos:
\mathcal{L}\{e^{-2t}\sin3t\}=\frac{3}{u^{2}+9},
portanto
\mathcal{L}\{t e^{-2t}\sin3t\}=-\frac{d}{ds}\!\left(\frac{3}{u^{2}+9}\right) = \frac{6u}{(u^{2}+9)^{2}}.
Também conhecemos (derivando a transformada de e^{-2t}\cos3t):
\mathcal{L}\{t e^{-2t}\cos3t\}=-\frac{d}{ds}\!\left(\frac{u}{u^{2}+9}\right) =\frac{u^{2}-9}{(u^{2}+9)^{2}}.
Queremos expressar \dfrac{3}{(u^{2}+9)^{2}} como combinação linear das transformadas acima e de transformadas de ordem 1. Ou seja, buscamos constantes A e D tais que
\frac{3}{(u^{2}+9)^{2}}=A\cdot\frac{u^{2}-9}{(u^{2}+9)^{2}} + D\cdot\frac{3}{u^{2}+9}.
Multiplicando ambos os lados por (u^{2}+9)^{2} obtemos o polinômio-identidade
3=A(u^{2}-9)+3D(u^{2}+9).
Comparando coeficientes em u^{2} e constantes:
  • Coeficiente de u^{2}: 0 = A + 3D.
  • Coeficiente constante: 3 = -9A + 27D.
Resolvendo este sistema:
A+3D=0\\ \Rightarrow\\ A=-3D,
-9A+27D=3\\ \Rightarrow\\\ -9(-3D)+27D=3 \Rightarrow 54D=3 \Rightarrow D=\frac{1}{18},
A=-3D=-\frac{1}{6}.
Portanto
\frac{3}{(u^{2}+9)^{2}}=-\frac{1}{6}\cdot\frac{u^{2}-9}{(u^{2}+9)^{2}}+\frac{1}{18}\cdot\frac{3}{u^{2}+9}.
Voltando às transformadas correspondentes:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{u^{2}-9}{(u^{2}+9)^{2}}\right\}=t e^{-2t}\cos3t, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3}{u^{2}+9}\right\}=e^{-2t}\sin3t.
Assim a inversa da segunda parcela é
y_{2}(t)=-\frac{1}{6}\,t e^{-2t}\cos3t+\frac{1}{18}\,e^{-2t}\sin3t.

Passo 7

Somar as duas partes para obter a solução completa y(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t).
Somando:
y(t)=\Big(e^{-2t}\cos3t+\frac{4}{3}e^{-2t}\sin3t\Big) +\Big(-\frac{1}{6}t e^{-2t}\cos3t+\frac{1}{18}e^{-2t}\sin3t\Big).
Agrupando termos semelhantes (fatorando e^{-2t}):
y(t)=e^{-2t}\!\left[\left(1-\frac{t}{6}\right)\cos3t+\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{18}\right)\sin3t\right].
Calcule a soma de coeficientes do seno:
\frac{4}{3}+\frac{1}{18}=\frac{24+1}{18}=\frac{25}{18}.
Portanto a solução final é
y(t)=e^{-2t}\left(1-\frac{t}{6}\right)\cos3t+\frac{25}{18}e^{-2t}\sin3t.

Resposta

y(t)=e^{-2t}\!\left(1-\frac{t}{6}\right)\cos3t+\frac{25}{18}\,e^{-2t}\sin3t

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