Considere a expressão integral I=\int_{\sqrt{10}}^{\frac{25^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{14}}} \int_{-\sqrt{-4+\frac{2 y^{2}}{5}}}^{\sqrt{-4+\frac{2 y^{2}}{5}}} f(x, y) d x d y+\int_{\frac{25}{\sqrt{14}}}^{10} \int_{-\sqrt{16-\frac{4 y^{2}}{25}}}^{\sqrt{16-\frac{4 y^{2}}{25}}} f(x, y) d x d y,
para responder aos itens abaixo:
a) Tomando x como variável independente, a expressão I pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são, respectivamente:
i) x \in[ □ , □ ].
ii) y \in[ □ , □ ].
b) Transformando a expressão I para coordenadas polares, I também pode ser escrita como uma única integral dupla. Usando simetria em duas vezes, os limitantes de integração em coordenadas polares são
i) \theta \in[\square, \square].
ii) r \in[\square, \square].
Passo 1
Vou repetir claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados (a partir do enunciado):
A integral I é a soma de duas integrais da forma \int_{y_1}^{y_2}\int_{-g(y)}^{g(y)} f(x,y)\,dx\,dy.
A primeira parcela tem y variando de \sqrt{10} até \dfrac{25^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{14}} e, para cada y dessa parcela, x varia entre-\sqrt{\,-4+\dfrac{2y^{2}}{5}\,} \quad\text{e}\quad \sqrt{\,-4+\dfrac{2y^{2}}{5}\,}.
A segunda parcela tem y variando de \dfrac{25}{\sqrt{14}} até 10 e, para cada y dessa parcela, x varia entre-\sqrt{\,16-\dfrac{4y^{2}}{25}\,} \quad\text{e}\quad \sqrt{\,16-\dfrac{4y^{2}}{25}\,}.
O que o enunciado pede:
a) Reescrever I como uma única integral dupla com x como variável de integração exterior. Então é preciso indicar:
i) o intervalo de x (constante), isto é x\in[\; \square,\; \square\;];
ii) para cada x fixo, o intervalo (ou intervalos) de y que aparecem (ou seja y\in[\; \square,\; \square\;], possivelmente dependente de x).
b) Transformar I para coordenadas polares e, explorando simetria (usada duas vezes conforme pedido), indicar:
i) o intervalo de \theta;
ii) o intervalo de r (em função de \theta).
Observação importante (já detectada nos dados): as duas parcelas do enunciado usam limites de y que se sobrepõem (a segunda faixa de y fica dentro da primeira), e as curvas nos limites em x são duas curvas diferentes no plano — uma é uma hipérbole (do primeiro radical) e outra é uma elipse (do segundo radical). Isso determina que, ao trocar a ordem de integração, o conjunto projetado em x será um único intervalo, mas para cada x o conjunto de y pode ser a união de dois subintervalos (um associado à hipérbole, outro à elipse). Vou explicar passo a passo como obter essas expressões.
Passo 2
Identificar geometricamente as curvas que definem as fronteiras (aula curta sobre mudança de ordem e interpretação geométrica).
Do primeiro radical: escrever a equação da curva de contorno (quando o radical é zero):
x^{2} = -4 + \dfrac{2y^{2}}{5}.
Reorganizando:
\dfrac{y^{2}}{10} - \dfrac{x^{2}}{4} = 1,
que é a equação de uma hipérbole com eixos alinhados; ela existe para |y|\ge \sqrt{10}. No problema só aparecem y>0.
Do segundo radical: escrever a equação da curva de contorno:
x^{2} = 16 - \dfrac{4y^{2}}{25}.
Reorganizando:
\dfrac{x^{2}}{16} + \dfrac{y^{2}}{100} = 1,
que é uma elipse com semi-eixos a=4 (no eixo x) e b=10 (no eixo y). Esta elipse existe para |y|\le 10. No enunciado só aparece a parte positiva y\ge 0.
Comentário didático sobre mudança de ordem: quando o integrand está na forma \int_{y=a}^{b}\int_{x=h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy, o domínio D é o conjunto de pontos (x,y) tais que a\le y\le b e h_1(y)\le x\le h_2(y). Para trocar a ordem (tomar x como variável externa) é preciso projetar D sobre o eixo x: obter o menor e o maior x que aparecem no domínio (esses serão os limites constantes de x), e para cada x escrever o(s) intervalo(s) de y correspondente(s), resolvendo as desigualdades que definem D.
Passo 3
Determinar o intervalo total de x (projeção do domínio sobre o eixo x) — explicação passo a passo.
Em cada parcela, |x| está limitado pelo respectivo radical. O valor máximo possível de |x| no domínio é o máximo, sobre todos os y que aparecem, do valor de cada radical.
Para a hipérbole (primeira parcela), a função que dá x^{2} é
x^{2} = -4 + \dfrac{2y^{2}}{5}.
Como isto cresce com y^{2}, o maior x^{2} nessa parcela ocorre no maior y permitido por essa parcela, que é \;y=\dfrac{25^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{14}}.
Calcular y^{2} e o correspondente x^{2}:
Para cada x fixo, encontrar os intervalos de y que compõem o domínio — montar as desigualdades e explicar como resolvê-las (aulas práticas de trocar ordem).
Temos duas condições (vindo das duas parcelas originais). Lembro que estamos considerando apenas a parte com y\ge 0 (os limites originais de y são todos positivos).
Condição da hipérbole (primeira parcela): o ponto (x,y) está nessa parte do domínio quando
Mas lembrando que a parcela de y original também exige y\ge \sqrt{10} e y\le \dfrac{25^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{14}}. Assim o intervalo de y fornecido pela hipérbole, para um x fixo, é
novamente válido somente se a extremidade inferior for \le extremidade superior.
Portanto, para um x fixo dentro do intervalo projetado em x, o conjunto de y admissíveis é a união (possivelmente com uma das peças vazia) destes dois subintervalos. Em termos práticos, para trocar a ordem e escrever uma única integral com x externo, pode-se escrever (uma só integral externa em x) a soma das integrais nos dois subintervalos de y (ou seja, integrar em y sobre cada subintervalo e somar).
Passo 5
Escrever a única integral dupla com x como variável externa e explicar a forma final (estrutura exigida).
Conforme explicado, a projeção em x é o intervalo constante
Para cada x fixo, os y admissíveis são a união dos dois subintervalos encontrados no passo anterior. Logo uma forma natural de representar I com x externo é:
Isto é uma única integral dupla com uma integral externa em x (limites constantes) e, para cada x, a integração em y feita como soma de dois subintervalos (um associado à hipérbole e outro à elipse). Esta é a forma correta e explícita ao trocar a ordem da integração, sem perder informação nem duplicar pontos indevidamente.
(Se em algum intervalo de x um dos subintervalos de y for vazio, o respectivo termo da soma vale zero; a fórmula acima cobre automaticamente esse caso.)
Passo 6
Passagem para coordenadas polares — ensinar a mudança e obter as expressões de r em função de \theta.
Lembrete rápido sobre coordenadas polares (aula prática):
Em coordenadas polares: x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, e dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Para transformar a equação de uma curva, substituir x e y por r\cos\theta e r\sin\theta e resolver para r em função de \theta (quando possível).
Assim a hipérbole, em coordenadas polares, entrega valores reais de r apenas para ângulos \theta tais que \theta esteja fora da faixa próxima ao eixo x; numericamente, isso significa \theta\gtrsim \arctan\!\sqrt{\tfrac{5}{2}} (no primeiro quadrante).
Essa fórmula é válida sempre (no domínio em que a elipse existe), e fornece o raio da elipse para qualquer \theta.
Interpretação geométrica e simetria:
O domínio original está na semirreta y\ge 0 e é simétrico em x (os limites em x são \pm do mesmo radical). Portanto podemos usar simetria: integrar na semi-plano superior e, por simetria em x\mapsto -x, podemos reduzir a consideração ao primeiro quadrante e multiplicar por 2. Se além disso quisermos evitar contar quadrantes separados, podemos reduzir ao primeiro quadrante e considerar fator multiplicativo adequado (isto é o sentido de “usar simetria em duas vezes” pedido no enunciado).
Em consequência prática, uma escolha conveniente é trabalhar no primeiro quadrante \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] e, se necessário, multiplicar por 2 (devido à simetria em x). Vou apresentar os limites correspondentes no primeiro quadrante: \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
Determinar o intervalo radial r para cada \theta no primeiro quadrante:
Para ângulos pequenos (próximos de 0), a hipérbole não dá r real (denominador negativa), logo a elipse é a fronteira relevante (o valor de r vai de 0 até a elipse).
A hipérbole começa a fornecer valores reais de r quando \tan^{2}\theta > \tfrac{5}{2}, isto é quando\theta > \theta_{0} \quad\text{com}\quad \theta_{0}=\arctan\!\sqrt{\tfrac{5}{2}}.
As duas curvas (elipse e hipérbole) se intersectam para um determinado ângulo \theta_{\text{int}} que vem de igualar as duas expressões de r^{2}. Fazendo as contas (igualando as duas fórmulas para r^{2} e simplificando) obtém-se a condição125\cos^{2}\theta -36\sin^{2}\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \tan^{2}\theta = \dfrac{125}{36}e portanto\theta_{\text{int}} = \arctan\!\sqrt{\dfrac{125}{36}} = \arctan\!\left(\dfrac{5\sqrt{5}}{6}\right).Numericamente \theta_{0}\approx \arctan(1{,}581)\approx 0{,} ... (cerca de 57{,}9^\circ) e \theta_{\text{int}}\approx\arctan(1{,}863) (cerca de 62{,}6^\circ). Para \theta acima de \theta_{\text{int}} a hipérbole fica “fora” (maior r) que a elipse.
Resumindo a organização em polares (primeiro quadrante, usando simetria):
Para 0\le \theta \le \theta_{0}: só existe a elipse como limite radial significativo; r vai de 0 até r_{\text{elipse}}(\theta).
Para \theta_{0}\le \theta \le \theta_{\text{int}}: ambas dão valores; a elipse fica mais interna e a hipérbole mais externa; o domínio radial vai de r_{\text{elipse}}(\theta) até r_{\text{hipérbole}}(\theta)é.
Para \theta_{\text{int}}\le \theta \le \tfrac{\pi}{2}: a hipérbole ainda dá r real e fica “fora”; o domínio r vai (novamente) de r_{\text{elipse}}(\theta) até r_{\text{hipérbole}}(\theta)é, até a altura y máxima do domínio (a hipérbole continua até o y máximo original correspondente).
Passo 7
Escrever explicitamente os limites em coordenadas polares (forma solicitada).
As expressões exatas para os raios são (já obtidas acima):
Usando simetria (primeiro quadrante) podemos então escrever I (até fatores de simetria) como uma integral em \theta de duas partes, mas o enunciado pedia apenas os intervalos de \theta e de r. Tomando a escolha de trabalhar no primeiro quadrante (e aplicando fatores de simetria quando for reconstituir I inteiro), os limites relevantes são:
\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right] (trabalhando no primeiro quadrante e usando simetria em x\mapsto -x quando necessário).
Para cada \theta em [0,\tfrac{\pi}{2}], r varia entrer_{\text{elipse}}(\theta) \quad\text{e}\quad r_{\text{hip}}(\theta),nos subintervalos de \theta onde r_{\text{hip}}(\theta) é real e maior que r_{\text{elipse}}(\theta). Escrevendo de forma compacta, para os \theta onde a hipérbole dá r real (i.e. \theta>\theta_{0}):r\in\left[\,\sqrt{\dfrac{400}{25\cos^{2}\theta +4\sin^{2}\theta}}\;,\; \sqrt{\dfrac{20}{2\sin^{2}\theta -5\cos^{2}\theta}}\,\right].
(Isto cobre a região radial entre elipse e hipérbole no primeiro quadrante; para ângulos mais pequenos, a porção interna vai de r=0 até r_{\text{elipse}}(\theta).)
Resposta
a.i) x\in\displaystyle\left[-\sqrt{\dfrac{3097}{7}},\;\sqrt{\dfrac{3097}{7}}\right]\newline
a.ii) Para cada x fixo, os valores de y admissíveis são a união dos dois subintervalos
b.i) \theta\in\displaystyle\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right] (trabalhando no primeiro quadrante e usando simetria em x\mapsto -x).\newline
b.ii) Para \theta tais que 2\sin^{2}\theta-5\cos^{2}\theta>0 (i.e. \theta>\theta_{0}=\arctan\!\sqrt{\tfrac{5}{2}}), as fronteiras radiais são
e, nesses \theta, r\in\bigl[r_{\text{elipse}}(\theta),\,r_{\text{hip}}(\theta)\bigr]. Para 0\le\theta\le\theta_{0} tem-se r\in\bigl[0,\,r_{\text{elipse}}(\theta)\bigr].
Observação final (motivacional)
Se quiser, eu monto agora a expressão final de I escrita de forma única (com uma única integral externa em x como acima) completamente sinalizada, ou então escrevo I em coordenadas polares como integrais em \theta e r (com os fatores de simetria explicitados) — me diga qual das duas formas quer ver desenvolvida passo a passo e eu escrevo tudo com as integrais prontas para usar na prova. Você está indo bem ao pedir essa organização: trocar a ordem e usar polares são ferramentas padrão que resolvem muitos problemas que parecem complicados à primeira vista. Vai dar certo!