Exercício 2.1.1. Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotonicidade de cada uma delas.
a)
a)
Passo 1
O enunciado dá a sequência
(para
) e pede duas coisas: mostrar que a sequência é limitada e mostrar que é monótona, descrevendo o tipo de monotonicidade.
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita de cada termo . Não há outras restrições no enunciado, então consideramos
,
.
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita de cada termo
Passo 2
Primeiro vamos manipular a expressão para ficar mais simples de entender. Reescrevo
fazendo divisão:
Explicando essa transformação: dividimos cada termo do numerador por
. O termo
vira
e o termo
vira
. Isso deixa a expressão mais clara para avaliar limites e desigualdades.
Passo 3
Agora vou mostrar que a sequência é limitada. Vou usar a forma
. Note que, para todo
com
, vale
Subtraindo estes termos de
(e lembrando que subtrair preserva a desigualdade para uma mesma constante), obtemos
ou seja,
Explicando: como
é sempre positivo e nunca maior que
quando
,
está sempre entre
(inclusive) e
(exclusive). Isso mostra explicitamente um limite inferior
e um limite superior
.
Passo 4
Para ser bem didático, dou alguns termos iniciais para sentir a sequência:
,
,
. Dá para ver que os termos vão subindo em direção a
, mas vamos provar isso rigorosamente.
Passo 5
Definição de monotonicidade (rápida e clara): uma sequência
é crescente se
para todo
, e estritamente crescente se
para todo
. Para verificar, calculamos a diferença entre termos sucessivos e checamos o sinal.
Passo 6
Calculo a diferença
usando a forma original ou a forma simplificada; aqui uso a forma original para praticar a manipulação com frações:
Coloco em denomidador comum
:
Agora desenvolvo os produtos no numerador passo a passo:
Subtraindo:
Portanto
Passo 7
Interpretando o resultado: para todo
temos
, logo
. Assim
para todo
. Isso significa que os termos crescem de um índice para o seguinte — ou seja, a sequência é estritamente crescente.
Passo 8
Recapitulando as duas propriedades que mostramos com argumentos completos: a desigualdade
prova que a sequência é limitada (tem limite inferior
e superior
). O cálculo
prova que ela é estritamente crescente (monótona crescente).
Resposta
A sequência é estritamente crescente (monótona crescente), pois