Exercício 2.1.1. Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotonicidade de cada uma delas.
a) x_{n}=\frac{2 n-1}{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \displaystyle x_{n}=\frac{2n-1}{n} (para n=1,2,3,\dots) e pede duas coisas: mostrar que a sequência é limitada e mostrar que é monótona, descrevendo o tipo de monotonicidade.
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita de cada termo \displaystyle x_n=\frac{2n-1}{n}. Não há outras restrições no enunciado, então consideramos n\in\mathbb{N}, n\ge 1.

Passo 2

Primeiro vamos manipular a expressão para ficar mais simples de entender. Reescrevo \displaystyle x_n fazendo divisão:
x_n=\frac{2n-1}{n}=2-\frac{1}{n}.
Explicando essa transformação: dividimos cada termo do numerador por n. O termo 2n/n vira 2 e o termo (-1)/n vira -\frac{1}{n}. Isso deixa a expressão mais clara para avaliar limites e desigualdades.

Passo 3

Agora vou mostrar que a sequência é limitada. Vou usar a forma \displaystyle x_n=2-\frac{1}{n}. Note que, para todo n\in\mathbb{N} com n\ge 1, vale
0<\frac{1}{n}\le 1.
Subtraindo estes termos de 2 (e lembrando que subtrair preserva a desigualdade para uma mesma constante), obtemos
2-1 \le 2-\frac{1}{n} < 2,
ou seja,
1 \le x_n < 2.
Explicando: como \frac{1}{n} é sempre positivo e nunca maior que 1 quando n\ge1, 2-\frac{1}{n} está sempre entre 1 (inclusive) e 2 (exclusive). Isso mostra explicitamente um limite inferior 1 e um limite superior 2.

Passo 4

Para ser bem didático, dou alguns termos iniciais para sentir a sequência: \displaystyle x_1=\frac{2\cdot1-1}{1}=1, \displaystyle x_2=\frac{3}{2}=1,5, \displaystyle x_3=\frac{5}{3}\approx1,666\ldots. Dá para ver que os termos vão subindo em direção a 2, mas vamos provar isso rigorosamente.

Passo 5

Definição de monotonicidade (rápida e clara): uma sequência (x_n) é crescente se x_{n+1}\ge x_n para todo n, e estritamente crescente se x_{n+1}>x_n para todo n. Para verificar, calculamos a diferença entre termos sucessivos e checamos o sinal.

Passo 6

Calculo a diferença \displaystyle x_{n+1}-x_n usando a forma original ou a forma simplificada; aqui uso a forma original para praticar a manipulação com frações:
x_{n+1}-x_n=\frac{2(n+1)-1}{n+1}-\frac{2n-1}{n}=\frac{2n+1}{n+1}-\frac{2n-1}{n}.
Coloco em denomidador comum n(n+1):
x_{n+1}-x_n=\frac{n(2n+1)-(n+1)(2n-1)}{n(n+1)}.
Agora desenvolvo os produtos no numerador passo a passo:
n(2n+1)=2n^2+n,
(n+1)(2n-1)=2n^2+n-1.
Subtraindo:
n(2n+1)-(n+1)(2n-1)=(2n^2+n)-(2n^2+n-1)=1.
Portanto
x_{n+1}-x_n=\frac{1}{n(n+1)}.

Passo 7

Interpretando o resultado: para todo n\ge 1 temos n(n+1)>0, logo \displaystyle \frac{1}{n(n+1)}>0. Assim \displaystyle x_{n+1}-x_n>0 para todo n. Isso significa que os termos crescem de um índice para o seguinte — ou seja, a sequência é estritamente crescente.

Passo 8

Recapitulando as duas propriedades que mostramos com argumentos completos: a desigualdade \displaystyle 1\le x_n<2 prova que a sequência é limitada (tem limite inferior 1 e superior 2). O cálculo \displaystyle x_{n+1}-x_n=\frac{1}{n(n+1)}>0 prova que ela é estritamente crescente (monótona crescente).

Resposta

\displaystyle 1\le x_n<2 para todo n (logo a sequência é limitada).
A sequência é estritamente crescente (monótona crescente), pois \displaystyle x_{n+1}-x_n=\frac{1}{n(n+1)}>0 para todo n.

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