Exercício 8. Mostre que as três medianas de um triângulo A B C concorrem num ponto G e que
\overrightarrow{O G}=\frac{\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}}{3}

Passo 1

O enunciado dá um triângulo A B C e um ponto de referência O (origem para vetores de posição) e pede duas coisas:
  • Mostrar que as três medianas do triângulo concorrem num ponto G.
  • Mostrar que
\overrightarrow{O G}=\frac{\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}}{3}.
Informações relevantes fornecidas (implícitas no enunciado):
  • Por mediana entende-se a reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.
  • Os pontos A,B,C são quaisquer vértices de um triângulo (não-colineares).

Passo 2

Definições e fórmulas vetoriais que vamos usar (explicadas com calma).
  • Vetor de posição de um ponto P relativamente à origem O é \overrightarrow{O P}. Esse vetor representa as coordenadas (posicionamento) do ponto P.
  • Se M é o ponto médio do segmento B C, então o vetor de posição de M é a média dos vetores de posição de B e C:
\overrightarrow{O M}=\frac{\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}}{2}.
Justificativa rápida: geometricamente o ponto médio fica “no meio” entre B e C, e vetorialmente isso corresponde à média aritmética dos vetores de posição.
Aplicamos isso aos três lados e chamamos:
\overrightarrow{O D}=\frac{\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}}{2}, \qquad \overrightarrow{O E}=\frac{\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O A}}{2}, \qquad \overrightarrow{O F}=\frac{\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}}{2},
onde D é o ponto médio de B C, E de C A e F de A B.

Passo 3

Equação paramétrica (vetorial) de uma mediana — como descrever todos os pontos de uma mediana com um parâmetro.
  • Qualquer ponto X da mediana que liga A a D pode ser escrito como
\overrightarrow{O X}=\overrightarrow{O A}+s\bigl(\overrightarrow{O D}-\overrightarrow{O A}\bigr),
onde s\in\mathbb{R} (para 0\le s\le1 fica no segmento AD; valores fora estendem a reta).
  • Analogamente, qualquer ponto Y da mediana que liga B a E é
\overrightarrow{O Y}=\overrightarrow{O B}+t\bigl(\overrightarrow{O E}-\overrightarrow{O B}\bigr),
com t\in\mathbb{R}.
Isto é só escrever um ponto da reta passando por dois pontos como ponto inicial mais parâmetro vezes o vetor direção.

Passo 4

Encontrar a interseção entre as medianas A D\) e \(B E\) resolvendo a igualdade vetorial. - Substituímos \(\overrightarrow{O D}=\dfrac{\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}}{2}\) e \(\overrightarrow{O E}=\dfrac{\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O A}}{2}\) nas equações paramétricas e igualamos para achar \(s\) e \(t\) quando o mesmo ponto pertence a ambas as medianas: \[\overrightarrow{O A}+s\Bigl(\frac{\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}}{2}-\overrightarrow{O A}\Bigr) =\overrightarrow{O B}+t\Bigl(\frac{\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O A}}{2}-\overrightarrow{O B}\Bigr).
  • Para simplificar, multiplica-se por 2:
2\overrightarrow{O A}+s\bigl(-2\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}\bigr) =2\overrightarrow{O B}+t\bigl(-2\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O A}\bigr).
  • Reagrupando os coeficientes de \overrightarrow{O A},\overrightarrow{O B},\overrightarrow{O C} e passando tudo para um lado, obtemos a condição
(2-2s-t)\,\overrightarrow{O A}+(s-2+2t)\,\overrightarrow{O B}+(s-t)\,\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}.
  • Como \overrightarrow{O A},\overrightarrow{O B},\overrightarrow{O C} são vetores posição de três pontos não-colineares, eles são linearmente independentes (não vamos usar formalidade de espaço vetorial aqui; intuitivamente não existe combinação linear não-trivial que os zere a menos que os coeficientes sejam todos zero). Portanto os coeficientes devem ser zero, o que dá o sistema escalar:
\begin{cases} 2-2s-t=0,\\[4pt] s-2+2t=0,\\[4pt] s-t=0. \end{cases}
  • Da terceira equação vem s=t\]. Substituindo em \(2-2s-t=0 2-3s=0, logo
s=t=\frac{2}{3}.]

Passo 5

Interpretação do resultado e cálculo do vetor \overrightarrow{O G}.
  • Achamos que as medianas A D e B E se intersectam quando s=t=\dfrac{2}{3}. Chamemos G esse ponto de interseção. Então, usando a expressão da mediana A D,
\overrightarrow{O G} =\overrightarrow{O A}+\frac{2}{3}\Bigl(\overrightarrow{O D}-\overrightarrow{O A}\Bigr).
  • Substituindo \overrightarrow{O D}=\dfrac{\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}}{2} obtemos
\overrightarrow{O G} =\overrightarrow{O A}+\frac{2}{3}\Bigl(\frac{\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}}{2}-\overrightarrow{O A}\Bigr) =\overrightarrow{O A}+\frac{1}{3}\bigl(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}-2\overrightarrow{O A}\bigr).
  • Agrupando os termos de \overrightarrow{O A},\overrightarrow{O B},\overrightarrow{O C} vem
\overrightarrow{O G}=\frac{1}{3}\overrightarrow{O A}+\frac{1}{3}\overrightarrow{O B}+\frac{1}{3}\overrightarrow{O C} =\frac{\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}}{3}.

Passo 6

Mostrando que a terceira mediana também passa por G (concurso das três medianas) — argumento simétrico e cálculo direto.
  • A expressão obtida para \overrightarrow{O G} é simétrica em A,B,C. Para mostrar explicitamente que G está também na mediana C F (onde F é o ponto médio de A B com \overrightarrow{O F}=\tfrac{\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}}{2}) basta verificar que existe um parâmetro u tal que
\overrightarrow{O G}=\overrightarrow{O C}+u\bigl(\overrightarrow{O F}-\overrightarrow{O C}\bigr).
  • Substituindo \overrightarrow{O G}=\dfrac{\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}}{3} e \overrightarrow{O F}=\dfrac{\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}}{2} e resolvendo para u obtém-se u=\dfrac{2}{3}. Assim G pertence também à mediana C F.
  • Conclusão: as três medianas concorrem num mesmo ponto G. Esse ponto é único porque a interseção de duas retas distintas é única, e o terceiro segmento passa por esse mesmo ponto.

Passo 7

Consequências úteis para a prova (fato frequentemente pedido).
  • A coordenada vetorial do ponto de concorrência (centroide) é
\overrightarrow{O G}=\frac{\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}}{3}.
  • Além disso, cada mediana é dividida pelo ponto G na razão 2:1 contada do vértice para o ponto médio (isto é, G está a \tfrac{2}{3} do caminho do vértice até o ponto médio).

Resposta

As três medianas concorrem num ponto G.
\overrightarrow{O G}=\frac{\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}}{3}

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