Justificativa rápida: geometricamente o ponto médio fica “no meio” entre B e C, e vetorialmente isso corresponde à média aritmética dos vetores de posição.
Aplicamos isso aos três lados e chamamos:
Isto é só escrever um ponto da reta passando por dois pontos como ponto inicial mais parâmetro vezes o vetor direção.
Passo 4
Encontrar a interseção entre as medianas A D\) e \(B E\) resolvendo a igualdade vetorial.
- Substituímos \(\overrightarrow{O D}=\dfrac{\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}}{2}\) e \(\overrightarrow{O E}=\dfrac{\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O A}}{2}\) nas equações paramétricas e igualamos para achar \(s\) e \(t\) quando o mesmo ponto pertence a ambas as medianas:
\[\overrightarrow{O A}+s\Bigl(\frac{\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}}{2}-\overrightarrow{O A}\Bigr) =\overrightarrow{O B}+t\Bigl(\frac{\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O A}}{2}-\overrightarrow{O B}\Bigr).
Como \overrightarrow{O A},\overrightarrow{O B},\overrightarrow{O C} são vetores posição de três pontos não-colineares, eles são linearmente independentes (não vamos usar formalidade de espaço vetorial aqui; intuitivamente não existe combinação linear não-trivial que os zere a menos que os coeficientes sejam todos zero). Portanto os coeficientes devem ser zero, o que dá o sistema escalar:
Da terceira equação vem s=t\]. Substituindo em \(2-2s-t=0 dá 2-3s=0, logo
s=t=\frac{2}{3}.]
Passo 5
Interpretação do resultado e cálculo do vetor \overrightarrow{O G}.
Achamos que as medianas A D e B E se intersectam quando s=t=\dfrac{2}{3}. Chamemos G esse ponto de interseção. Então, usando a expressão da mediana A D,
Mostrando que a terceira mediana também passa por G (concurso das três medianas) — argumento simétrico e cálculo direto.
A expressão obtida para \overrightarrow{O G} é simétrica em A,B,C. Para mostrar explicitamente que G está também na mediana C F (onde F é o ponto médio de A B com \overrightarrow{O F}=\tfrac{\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}}{2}) basta verificar que existe um parâmetro u tal que
Substituindo \overrightarrow{O G}=\dfrac{\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}}{3} e \overrightarrow{O F}=\dfrac{\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}}{2} e resolvendo para u obtém-se u=\dfrac{2}{3}. Assim G pertence também à mediana C F.
Conclusão: as três medianas concorrem num mesmo ponto G. Esse ponto é único porque a interseção de duas retas distintas é única, e o terceiro segmento passa por esse mesmo ponto.
Passo 7
Consequências úteis para a prova (fato frequentemente pedido).
A coordenada vetorial do ponto de concorrência (centroide) é
Além disso, cada mediana é dividida pelo ponto G na razão 2:1 contada do vértice para o ponto médio (isto é, G está a \tfrac{2}{3} do caminho do vértice até o ponto médio).