Exercício 4 (Natureza Transversal das Ondas): Dada uma onda plana progressiva no vácuo com campo elétrico
, utilize as equações de Maxwell na forma diferencial para determinar o campo magnético
associado. Prove que
e
nesta configuração e demonstre a ortogonalidade mútua entre os vetores
,
e a direção de propagação
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma onda eletromagnética plana progressiva no vácuo com campo elétrico
onde:
-
é a amplitude do campo elétrico; -
é o número de onda (módulo do vetor de onda); -
é a frequência angular; - a direção de propagação é o eixo
(vetor de onda ); -
são as direções unitárias cartesianas.
O que pede o exercício:
- Determinar o campo magnético
associado a essa onda. - Provar que
e nesta configuração. - Demonstrar que
, e a direção de propagação são mutuamente ortogonais.
Passo 2
Lembrete das equações de Maxwell no vácuo (forma diferencial), que vamos usar e explicar cada termo:
Explicação rápida:
-
indica ausência de cargas livres no vácuo. -
indica que não existem monopólos magnéticos. -
é a lei de Faraday: campo elétrico rotacional é causado por variação temporal do campo magnético. -
é a lei de Ampère-Maxwell sem correntes livres (no vácuo). Aqui é a permeabilidade do vácuo e a permissividade do vácuo. A velocidade da luz no vácuo é dada por
Passo 3
Calcular
para a onda dada. Primeiro escrevo o componente não nulo de
:
A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas dá, para a componente
:
Como
e
depende só de
, temos
Portanto o rotacional resulta em
Observação: as outras componentes do rotacional são zero.
Passo 4
Usar a lei de Faraday
para obter
.
Substituindo o resultado do passo anterior:
Substituindo o resultado do passo anterior:
Cancelando o sinal menos em ambos os lados:
Integro em relação ao tempo (mantendo
fixo). Lembrando que
porque
. Assim
onde
é constante de integração possível (função de
apenas). Tomando a solução física sem termos constantes DC (onda livre, média zero), escolhemos
. Assim
Agora usar a relação da velocidade de fase da onda no vácuo
, portanto
. Logo escrevemos a forma usual:
Comentário físico: a direção de
ficou em
; isso faz sentido porque
está em
e a onda propaga em
, então
aponta em
.
Passo 5
Verificar a consistência com a equação de Ampère-Maxwell
.
Primeiro calculo . Como
Primeiro calculo
temos
Como
, segue
Agora o lado direito:
Igualando os dois lados exige
Cancelando
(não nulo) e lembrando
(ou
), obtemos
o que é a relação de dispersão correta para ondas eletromagnéticas no vácuo. Assim a solução encontrada é consistente com ambas as equações de Maxwell.
Passo 6
Provar que
e
explicitamente.
Calculo de
:
Mas
não depende de
nem de
, e
. Portanto
logo
Calculo de
:
Aqui
depende só de
, e
. Logo todas as derivadas espaciais são zero:
Esses resultados confirmam as equações de Gauss no vácuo.
Passo 7
Demonstrar ortogonalidade mútua entre
,
e
.
- Produto escalar
:
pois
. Logo
.
- Produto escalar
:
Logo
.
- Produto escalar
:
Logo
.
Portanto
,
e
são mutuamente ortogonais, formando um conjunto de vetores ortogonais direito:
e
, e de fato a direção de propagação coincide com
(vetor de Poynting) proporcional a
.
Passo 8
Resumo físico e relação de amplitudes: do passo 4 obtemos a relação entre amplitudes
onde
é a amplitude de
. O campo magnético está em fase com
(mesma dependência
) e perpendicular a
e à direção de propagação.