Exercício 4 (Natureza Transversal das Ondas): Dada uma onda plana progressiva no vácuo com campo elétrico \mathbf{E}=E_{0} \cos (k z-\omega t) \hat{x}, utilize as equações de Maxwell na forma diferencial para determinar o campo magnético \mathbf{B} associado. Prove que \nabla \cdot \mathbf{E}=0 e \nabla \cdot \mathbf{B}=0 nesta configuração e demonstre a ortogonalidade mútua entre os vetores \mathbf{E}, \mathbf{B} e a direção de propagação \mathbf{k}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma onda eletromagnética plana progressiva no vácuo com campo elétrico
\mathbf{E} = E_{0}\cos(kz-\omega t)\,\hat{x},
onde:
  • E_{0} é a amplitude do campo elétrico;
  • k é o número de onda (módulo do vetor de onda);
  • \omega é a frequência angular;
  • a direção de propagação é o eixo z (vetor de onda \mathbf{k}=k\hat{z});
  • \hat{x},\hat{y},\hat{z} são as direções unitárias cartesianas.
O que pede o exercício:
  1. Determinar o campo magnético \mathbf{B} associado a essa onda.
  2. Provar que \nabla\cdot\mathbf{E}=0 e \nabla\cdot\mathbf{B}=0 nesta configuração.
  3. Demonstrar que \mathbf{E}, \mathbf{B} e a direção de propagação \mathbf{k} são mutuamente ortogonais.

Passo 2

Lembrete das equações de Maxwell no vácuo (forma diferencial), que vamos usar e explicar cada termo:
\nabla\cdot\mathbf{E}=0,
\nabla\cdot\mathbf{B}=0,
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.
Explicação rápida:
  • \nabla\cdot\mathbf{E}=0 indica ausência de cargas livres no vácuo.
  • \nabla\cdot\mathbf{B}=0 indica que não existem monopólos magnéticos.
  • \nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t é a lei de Faraday: campo elétrico rotacional é causado por variação temporal do campo magnético.
  • \nabla\times\mathbf{B}=\mu_{0}\varepsilon_{0}\partial\mathbf{E}/\partial t é a lei de Ampère-Maxwell sem correntes livres (no vácuo). Aqui \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo e \varepsilon_{0} a permissividade do vácuo. A velocidade da luz no vácuo é dada por
c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}.

Passo 3

Calcular \nabla\times\mathbf{E} para a onda dada. Primeiro escrevo o componente não nulo de \mathbf{E}:
E_x(z,t)=E_{0}\cos(kz-\omega t),\qquad E_y=0,\qquad E_z=0.
A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas dá, para a componente y:
(\nabla\times\mathbf{E})_y=\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}.
Como E_z=0 e E_x depende só de z,t, temos
\frac{\partial E_x}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\big(E_{0}\cos(kz-\omega t)\big) = -k E_{0}\sin(kz-\omega t).
Portanto o rotacional resulta em
\nabla\times\mathbf{E} = -k E_{0}\sin(kz-\omega t)\,\hat{y}.
Observação: as outras componentes do rotacional são zero.

Passo 4

Usar a lei de Faraday \nabla\times\mathbf{E}=-\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} para obter \mathbf{B}.
Substituindo o resultado do passo anterior:
- k E_{0}\sin(kz-\omega t)\,\hat{y} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.
Cancelando o sinal menos em ambos os lados:
\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = k E_{0}\sin(kz-\omega t)\,\hat{y}.
Integro em relação ao tempo (mantendo z fixo). Lembrando que \dfrac{d}{dt}\cos(kz-\omega t)=\omega\sin(kz-\omega t) porque \dfrac{d}{dt}\cos\varphi=-\sin\varphi\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}=-\sin\varphi\cdot(-\omega)=\omega\sin\varphi. Assim
\int \sin(kz-\omega t)\,dt = \frac{1}{\omega}\cos(kz-\omega t) + C(z),
onde C(z) é constante de integração possível (função de z apenas). Tomando a solução física sem termos constantes DC (onda livre, média zero), escolhemos C(z)=0. Assim
\mathbf{B}(z,t) = \frac{k}{\omega}E_{0}\cos(kz-\omega t)\,\hat{y}.
Agora usar a relação da velocidade de fase da onda no vácuo \dfrac{\omega}{k}=c, portanto \dfrac{k}{\omega}=\dfrac{1}{c}. Logo escrevemos a forma usual:
\boxed{\mathbf{B}(z,t) = \frac{E_{0}}{c}\cos(kz-\omega t)\,\hat{y}.}
Comentário físico: a direção de \mathbf{B} ficou em \hat{y}; isso faz sentido porque \mathbf{E} está em \hat{x} e a onda propaga em \hat{z}, então \mathbf{E}\times\mathbf{B} aponta em \hat{z}.

Passo 5

Verificar a consistência com a equação de Ampère-Maxwell \nabla\times\mathbf{B}=\mu_{0}\varepsilon_{0}\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.
Primeiro calculo \nabla\times\mathbf{B}. Como
B_y(z,t)=\frac{E_{0}}{c}\cos(kz-\omega t),\qquad B_x=B_z=0,
temos
(\nabla\times\mathbf{B})_x = \frac{\partial B_z}{\partial y}-\frac{\partial B_y}{\partial z} = -\frac{\partial B_y}{\partial z}.
Como \dfrac{\partial B_y}{\partial z} = -k\frac{E_0}{c}\sin(kz-\omega t), segue
\nabla\times\mathbf{B} = k\frac{E_0}{c}\sin(kz-\omega t)\,\hat{x}.
Agora o lado direito:
\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} = \mu_{0}\varepsilon_{0}\, E_{0}\big(\omega\sin(kz-\omega t)\big)\,\hat{x} = \mu_{0}\varepsilon_{0}\omega E_{0}\sin(kz-\omega t)\,\hat{x}.
Igualando os dois lados exige
k\frac{E_0}{c} = \mu_{0}\varepsilon_{0}\omega E_{0}.
Cancelando E_{0} (não nulo) e lembrando c=1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}} (ou \mu_{0}\varepsilon_{0} = 1/c^{2}), obtemos
\frac{k}{c} = \frac{\omega}{c^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{\omega}{k}=c,
o que é a relação de dispersão correta para ondas eletromagnéticas no vácuo. Assim a solução encontrada é consistente com ambas as equações de Maxwell.

Passo 6

Provar que \nabla\cdot\mathbf{E}=0 e \nabla\cdot\mathbf{B}=0 explicitamente.
Calculo de \nabla\cdot\mathbf{E}:
\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}.
Mas E_x=E_{0}\cos(kz-\omega t) não depende de x nem de y, e E_y=E_z=0. Portanto
\frac{\partial E_x}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial E_y}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial E_z}{\partial z}=0,
logo
\boxed{\nabla\cdot\mathbf{E}=0.}
Calculo de \nabla\cdot\mathbf{B}:
\nabla\cdot\mathbf{B} = \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z}.
Aqui B_y=(E_0/c)\cos(kz-\omega t) depende só de z,t, e B_x=B_z=0. Logo todas as derivadas espaciais são zero:
\boxed{\nabla\cdot\mathbf{B}=0.}
Esses resultados confirmam as equações de Gauss no vácuo.

Passo 7

Demonstrar ortogonalidade mútua entre \mathbf{E}, \mathbf{B} e \mathbf{k}.
  • Produto escalar \mathbf{E}\cdot\mathbf{k}:
\mathbf{E}\cdot\mathbf{k} = \big(E_{0}\cos(kz-\omega t)\,\hat{x}\big)\cdot\big(k\hat{z}\big) = k E_{0}\cos(kz-\omega t)\,(\hat{x}\cdot\hat{z}) = 0,
pois \hat{x}\perp\hat{z}. Logo \mathbf{E}\perp\mathbf{k}.
  • Produto escalar \mathbf{B}\cdot\mathbf{k}:
\mathbf{B}\cdot\mathbf{k} = \big(\tfrac{E_0}{c}\cos(kz-\omega t)\,\hat{y}\big)\cdot\big(k\hat{z}\big) = k\tfrac{E_0}{c}\cos(kz-\omega t)\,(\hat{y}\cdot\hat{z}) = 0.
Logo \mathbf{B}\perp\mathbf{k}.
  • Produto escalar \mathbf{E}\cdot\mathbf{B}:
\mathbf{E}\cdot\mathbf{B} = E_{0}\cos(kz-\omega t)\cdot \frac{E_0}{c}\cos(kz-\omega t)\,(\hat{x}\cdot\hat{y}) = \frac{E_0^{2}}{c}\cos^{2}(kz-\omega t)\,(\hat{x}\cdot\hat{y}) = 0.
Logo \mathbf{E}\perp\mathbf{B}.
Portanto \mathbf{E}, \mathbf{B} e \mathbf{k} são mutuamente ortogonais, formando um conjunto de vetores ortogonais direito: \hat{k} = \hat{z} e \hat{x}\times\hat{y}=\hat{z}, e de fato a direção de propagação coincide com \mathbf{S} (vetor de Poynting) proporcional a \mathbf{E}\times\mathbf{B}.

Passo 8

Resumo físico e relação de amplitudes: do passo 4 obtemos a relação entre amplitudes
B_{0}=\frac{E_{0}}{c},
onde B_0 é a amplitude de \mathbf{B}. O campo magnético está em fase com \mathbf{E} (mesma dependência \cos(kz-\omega t)) e perpendicular a \mathbf{E} e à direção de propagação.

Resposta

\displaystyle \mathbf{B}(z,t)=\frac{E_{0}}{c}\cos(kz-\omega t)\,\hat{y}.\n
\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{E}=0.\n
\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{B}=0.\n
\displaystyle \mathbf{E}\perp\mathbf{B},\\ \mathbf{E}\perp\mathbf{k},\\ \mathbf{B}\perp\mathbf{k}.

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