Exercício 3 (Conservação da Carga): Utilizando a forma diferencial da Lei de Ampère-Maxwell , aplique o operador divergência em ambos os lados da equação. Demonstre que a validade desta lei exige estritamente o cumprimento da Equação da Continuidade (
), conforme discutido em Machado (Vol. 2, Seção 12.3). O que este resultado revela sobre a interdependência entre fontes e campos?
Passo 1
O enunciado dá a forma diferencial da Lei de Ampère-Maxwell e pede para, aplicando o operador divergência em ambos os lados, demonstrar que isso implica a Equação da Continuidade
Informações e equações relevantes que temos (essas são as hipóteses iniciais que vou usar):
- A Lei de Ampère-Maxwell em forma diferencial:
- A Lei de Gauss para o campo elétrico (uma das equações de Maxwell):
- A identidade de cálculo vetorial que é crucial:
- Notação e variáveis (para não ficar confuso):
-
é o campo elétrico, -
é o campo magnético, -
é a densidade de corrente elétrica (vetor), -
é a densidade de carga elétrica (escalar), -
e são as constantes do meio (no vácuo).
-
- O objetivo final: obter a Equação da Continuidade diferencial
mostrando cada passo com justificativas.
Passo 2
Explicando os operadores e identidades que vou usar (aqui dou a “aula” rápida para você entender cada símbolo e por que posso manipular as expressões):
- O operador divergência
aplicado a um campo vetorial mede a taxa líquida de “saída” desse campo por unidade de volume num ponto; se num ponto, há mais corrente saindo do que entrando naquele ponto. - O operador rotacional (ou curl)
mede a tendência do campo de “girar” localmente. - A identidade
significa que o fluxo (divergência) do giro (curl) de qualquer campo é sempre nulo. Intuitivamente: um giro puro não cria nem destrói “quantidade” — não tem fonte líquida. - Sobre derivadas temporais: para campos suaves (os que aparecem em eletromagnetismo clássico) vale trocar ordem entre divergência espacial e derivada temporal:
Isto é válido porque a operação
atua em
e
em
, e assumimos continuidade/diferenciabilidade razoável das funções (hipótese padrão nas EDO/PDE físicas).
- A Lei de Gauss relaciona
com : isso vai permitir trocar por mais adiante.
Passo 3
Agora faço a operação pedida: aplico divergência em ambos os lados da Lei de Ampère-Maxwell. Escrevo a equação inicial e aplico
:
Passo 4
Uso linearidade da divergência e a identidade divergência-do-curl igual a zero para simplificar o lado esquerdo:
No lado direito, a divergência é linear, então:
Portanto a igualdade vira
Passo 5
Trocando a ordem divergência/derivada temporal conforme justificado antes:
Substituo isso na equação do passo anterior:
Passo 6
Agora uso a Lei de Gauss
. Substituindo:
Como
é constante,
no numerador e denominador cancelam dentro da derivada temporal:
Passo 7
Divido ambos os lados por
(que é diferente de zero), obtendo finalmente a Equação da Continuidade:
Isso é exatamente o que queríamos demonstrar.
Passo 8
Interpretação física e comentário didático (por que isso importa, e o que revela sobre interdependência entre fontes e campos):
- A Equação da Continuidade é a expressão matemática local da conservação de carga: ela diz que a taxa de variação temporal da densidade de carga
em um ponto mais a divergência da corrente naquele ponto se cancelam — se a corrente está saindo de um volume (divergência positiva), a carga local diminui, e vice-versa. - Do ponto de vista das equações de Maxwell, o que mostramos é que Ampère-Maxwell e Gauss não são independentes: ao aplicar divergência em Ampère-Maxwell e usar Gauss obtém-se a continuidade. Ou seja, as equações para os campos impõem uma restrição sobre as fontes
e : não se pode escolher arbitrariamente e — eles devem satisfazer a continuidade. As equações dos campos e as equações de conservação das fontes estão ligadas. - Historicamente e pedagogicamente: Maxwell introduziu o termo de corrente de deslocamento
exatamente para tornar a lei de Ampère consistente com a conservação de carga em situações onde (por exemplo, durante o carregamento de um capacitor, onde há corrente no circuito mas não há corrente de condução entre as placas; o termo de deslocamento garante a continuidade das equações). - Em termos práticos: a presença desse vínculo significa que, ao resolver problemas eletromagnéticos, não se pode simplesmente arranjar fontes que violem a continuidade; as fontes e campos se auto-consistem — campos gerados por fontes reagem de forma que a conservação de carga seja mantida.
Resposta
\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0