Exercício 3 (Conservação da Carga): Utilizando a forma diferencial da Lei de Ampère-Maxwell , aplique o operador divergência em ambos os lados da equação. Demonstre que a validade desta lei exige estritamente o cumprimento da Equação da Continuidade ( \nabla \cdot \mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0 ), conforme discutido em Machado (Vol. 2, Seção 12.3). O que este resultado revela sobre a interdependência entre fontes e campos?

Passo 1

O enunciado dá a forma diferencial da Lei de Ampère-Maxwell e pede para, aplicando o operador divergência em ambos os lados, demonstrar que isso implica a Equação da Continuidade
\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0.
Informações e equações relevantes que temos (essas são as hipóteses iniciais que vou usar):
  • A Lei de Ampère-Maxwell em forma diferencial:
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.
  • A Lei de Gauss para o campo elétrico (uma das equações de Maxwell):
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}.
  • A identidade de cálculo vetorial que é crucial:
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0\quad\text{para qualquer campo vetorial suficientemente suave }\mathbf{A}.
  • Notação e variáveis (para não ficar confuso):
    • \mathbf{E}(\mathbf{r},t) é o campo elétrico,
    • \mathbf{B}(\mathbf{r},t) é o campo magnético,
    • \mathbf{J}(\mathbf{r},t) é a densidade de corrente elétrica (vetor),
    • \rho(\mathbf{r},t) é a densidade de carga elétrica (escalar),
    • \mu_0 e \varepsilon_0 são as constantes do meio (no vácuo).
  • O objetivo final: obter a Equação da Continuidade diferencial
\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0,
mostrando cada passo com justificativas.

Passo 2

Explicando os operadores e identidades que vou usar (aqui dou a “aula” rápida para você entender cada símbolo e por que posso manipular as expressões):
  • O operador divergência \nabla\cdot aplicado a um campo vetorial mede a taxa líquida de “saída” desse campo por unidade de volume num ponto; se \nabla\cdot\mathbf{J}>0 num ponto, há mais corrente saindo do que entrando naquele ponto.
  • O operador rotacional (ou curl) \nabla\times mede a tendência do campo de “girar” localmente.
  • A identidade \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0 significa que o fluxo (divergência) do giro (curl) de qualquer campo é sempre nulo. Intuitivamente: um giro puro não cria nem destrói “quantidade” — não tem fonte líquida.
  • Sobre derivadas temporais: para campos suaves (os que aparecem em eletromagnetismo clássico) vale trocar ordem entre divergência espacial e derivada temporal:
\nabla\cdot\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{E}).
Isto é válido porque a operação \partial/\partial t atua em t e \nabla em \mathbf{r}, e assumimos continuidade/diferenciabilidade razoável das funções (hipótese padrão nas EDO/PDE físicas).
  • A Lei de Gauss relaciona \nabla\cdot\mathbf{E} com \rho: isso vai permitir trocar \nabla\cdot\mathbf{E} por \rho/\varepsilon_0 mais adiante.

Passo 3

Agora faço a operação pedida: aplico divergência em ambos os lados da Lei de Ampère-Maxwell. Escrevo a equação inicial e aplico \nabla\cdot:
\nabla\cdot\big(\nabla\times\mathbf{B}\big) = \nabla\cdot\big(\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\big).

Passo 4

Uso linearidade da divergência e a identidade divergência-do-curl igual a zero para simplificar o lado esquerdo:
\nabla\cdot\big(\nabla\times\mathbf{B}\big)=0.
No lado direito, a divergência é linear, então:
\nabla\cdot\big(\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\big) = \mu_0\,\nabla\cdot\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\,\nabla\cdot\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.
Portanto a igualdade vira
0 = \mu_0\,\nabla\cdot\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\,\nabla\cdot\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.

Passo 5

Trocando a ordem divergência/derivada temporal conforme justificado antes:
\nabla\cdot\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{E}).
Substituo isso na equação do passo anterior:
0 = \mu_0\,\nabla\cdot\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}\big(\nabla\cdot\mathbf{E}\big).

Passo 6

Agora uso a Lei de Gauss \nabla\cdot\mathbf{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}. Substituindo:
0 = \mu_0\,\nabla\cdot\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}\!\left(\frac{\rho}{\varepsilon_0}\right).
Como \varepsilon_0 é constante, \varepsilon_0 no numerador e denominador cancelam dentro da derivada temporal:
0 = \mu_0\,\nabla\cdot\mathbf{J} + \mu_0\,\frac{\partial\rho}{\partial t}.

Passo 7

Divido ambos os lados por \mu_0 (que é diferente de zero), obtendo finalmente a Equação da Continuidade:
\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0.
Isso é exatamente o que queríamos demonstrar.

Passo 8

Interpretação física e comentário didático (por que isso importa, e o que revela sobre interdependência entre fontes e campos):
  • A Equação da Continuidade é a expressão matemática local da conservação de carga: ela diz que a taxa de variação temporal da densidade de carga \rho em um ponto mais a divergência da corrente naquele ponto se cancelam — se a corrente está saindo de um volume (divergência positiva), a carga local diminui, e vice-versa.
  • Do ponto de vista das equações de Maxwell, o que mostramos é que Ampère-Maxwell e Gauss não são independentes: ao aplicar divergência em Ampère-Maxwell e usar Gauss obtém-se a continuidade. Ou seja, as equações para os campos impõem uma restrição sobre as fontes \rho e \mathbf{J}: não se pode escolher arbitrariamente \rho e \mathbf{J} — eles devem satisfazer a continuidade. As equações dos campos e as equações de conservação das fontes estão ligadas.
  • Historicamente e pedagogicamente: Maxwell introduziu o termo de corrente de deslocamento \varepsilon_0\partial\mathbf{E}/\partial t exatamente para tornar a lei de Ampère consistente com a conservação de carga em situações onde \partial\rho/\partial t\neq0 (por exemplo, durante o carregamento de um capacitor, onde há corrente no circuito mas não há corrente de condução entre as placas; o termo de deslocamento garante a continuidade das equações).
  • Em termos práticos: a presença desse vínculo significa que, ao resolver problemas eletromagnéticos, não se pode simplesmente arranjar fontes que violem a continuidade; as fontes e campos se auto-consistem — campos gerados por fontes reagem de forma que a conservação de carga seja mantida.

Resposta

\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0

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