Exercício 2 (Diferenciação e Campos Não-Conservativos): A partir da forma integral da Lei de Faraday, utilize o Teorema de Stokes para derivar sua correspondente forma diferencial. Discuta o significado físico do sinal negativo e, em um nível avançado, explique por que em regimes variantes no tempo ( \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \neq 0 ), o campo elétrico deixa de ser conservativo ( \nabla \times \mathbf{E} \neq 0 ), impossibilitando a definição de um potencial escalar único da mesma forma que na eletrostática.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • Derivar, a partir da forma integral da Lei de Faraday, a forma diferencial correspondente usando o Teorema de Stokes.
  • Discutir o significado físico do sinal negativo presente na lei.
  • Explicar, em nível avançado, por que quando \dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\neq 0 o campo elétrico deixa de ser conservativo (isto é, por que \nabla\times\mathbf{E}\neq 0) e por que não é mais possível definir um único potencial escalar como na eletrostática.
Informações fornecidas (a fórmula integral de Faraday que vamos usar; estou pegando essa expressão do enunciado):
\oint_{\partial S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} \;=\; -\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.
Aqui:
  • \partial S é a fronteira (contorno) orientada da superfície S.
  • d\mathbf{l} é o vetor tangente ao contorno \partial S no sentido da orientação escolhida.
  • d\mathbf{A} é o elemento vetorial de área na superfície S com orientação dada pela regra da mão direita em relação ao sentido de \partial S.
  • \mathbf{E} e \mathbf{B} são os campos elétrico e magnético, funções de \mathbf{r} e t.

Passo 2

Relembrando o Teorema de Stokes (a ferramenta matemática que vamos aplicar): para um campo vetorial \mathbf{F}(\mathbf{r}) suficientemente suave vale
\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l} \;=\; \int_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{A}.
Interpretando: a circulação de \mathbf{F} ao longo do contorno \partial S é igual ao fluxo do rotacional \nabla\times\mathbf{F} através da superfície S.
Aplicamos este teorema à integral de linha da Lei de Faraday substituindo \mathbf{F}=\mathbf{E}. Assim o lado esquerdo fica:
\oint_{\partial S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} \;=\; \int_{S}(\nabla\times\mathbf{E})\cdot d\mathbf{A}.

Passo 3

Substituindo no enunciado de Faraday (lado esquerdo pelos termos do Teorema de Stokes), obtemos:
\int_{S}(\nabla\times\mathbf{E})\cdot d\mathbf{A} \;=\; -\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.
Agora precisamos tratar o lado direito. Se a superfície S for fixa no espaço (situação padrão ao derivar a forma diferencial) e \mathbf{B}(\mathbf{r},t) for diferenciável em t, então podemos trocar a derivada temporal com a integral de superfície:
-\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A} \;=\; -\int_{S}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{A}.
Essa troca é permitida porque a geometria da superfície não depende do tempo; caso a superfície se mova haveria termos adicionais (motional EMF), que é um ponto avançado que mencionarei depois.

Passo 4

Com isso temos
\int_{S}(\nabla\times\mathbf{E})\cdot d\mathbf{A} \;=\; -\int_{S}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{A}.
As duas integrais são integrais de fluxo através da mesma superfície S. Se essa igualdade vale para qualquer superfície S (ou seja, para todas as superfícies arbitrárias que tenham o mesmo ponto como interior), então os integrandos devem ser iguais ponto a ponto. Essa é a passagem padrão de forma integral para diferencial: se para todo S
\int_{S}\big[(\nabla\times\mathbf{E}) + \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\big]\cdot d\mathbf{A} = 0,
então o campo dentro do colchete é nulo em cada ponto. Portanto obtemos a forma diferencial de Faraday:
\nabla\times\mathbf{E} \;=\; -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.

Passo 5

Comentário sobre orientação (por que o sinal negativo aparece matematicamente): a orientação de \partial S e de d\mathbf{A} está ligada pela regra da mão direita. A Lei de Faraday integral usa essa convenção e a derivada do fluxo \dfrac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A} mede a taxa de variação do fluxo através da superfície com essa mesma orientação. O Teorema de Stokes converte a circulação (integral de linha) em fluxo do rotacional; o sinal negativo na lei integral persiste ao passar para a forma diferencial porque a circulação induzida tem sentido oposto à taxa de variação do fluxo — essa é a expressão matemática de Lenz.

Passo 6

Interpretação física do sinal negativo (Lenz) de forma didática e intuitiva:
  • A equação integral diz que a força eletromotriz ao redor de um contorno (a circulação de \mathbf{E}) é proporcional à taxa de variação negativa do fluxo magnético através da superfície. Em palavras simples: o campo elétrico induzido age de modo a criar correntes que tendem a produzir um campo magnético que se oponha à mudança do fluxo original.
  • Exemplo mental: se o fluxo magnético através de um laço está aumentando para dentro da página, a corrente induzida será no sentido que cria um campo magnético saindo da página (oposto ao aumento). Essa oposição é o que evita “violações” de conservação de energia: a corrente induzida precisa de energia que vem do trabalho necessário para alterar o campo magnético (ou mover o ímã), ou seja, o sistema se opõe à mudança.

Passo 7

Por que um campo elétrico com \nabla\times\mathbf{E}\neq0 não é conservativo (explicação passo a passo e sem pular etapas):
  • Definição simples: um campo vetorial \mathbf{E} é conservativo (tem potencial escalar \varphi tal que \mathbf{E}=-\nabla\varphi) se, e somente se, \nabla\times\mathbf{E}=0 em uma região simplesmente conexa. Isto é um fato básico do cálculo vetorial: o rotacional de um gradiente é sempre zero,
\nabla\times(-\nabla\varphi)=\mathbf{0}.
  • Se a equação de Maxwell nos dá \nabla\times\mathbf{E}=-\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} e o lado direito é não nulo em algum ponto (isto é, \dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\neq0), então \nabla\times\mathbf{E}\neq0 naquele ponto. Logo \mathbf{E} não pode ser escrito como -\nabla\varphi ali; não existe um \varphi que satisfaça isso em toda a região (ou, dito de outro modo, não existe um potencial escalar único global).
  • Consequência prática: a integral de linha de \mathbf{E} entre dois pontos depende do caminho tomado; e a integral de \mathbf{E} ao redor de uma curva fechada pode ser diferente de zero:
\oint_{\partial S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} \;=\; -\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A} \;\neq\; 0.
Num campo conservativo essa integral fechada seria zero, o que contradiz a presença de um \partial_t\mathbf{B} não nulo.

Passo 8

Exemplo concreto e simples (ilustra bem a não-conservatividade):
Considere um solenoide longo com campo magnético aproximadamente uniforme \mathbf{B}(t)=B(t)\,\hat{\mathbf{z}} dentro e praticamente zero fora. Tome uma curva circular de raio r centrada no eixo do solenoide. Por simetria o campo elétrico induzido será tangencial e homogêneo ao longo da circunferência, chamemos E_\varphi(r,t) seu módulo. A lei integral de Faraday dá:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} \;=\; 2\pi r\,E_\varphi(r,t) \;=\; -\frac{d}{dt}\big(\pi r^2 B(t)\big).
Logo
E_\varphi(r,t) \;=\; -\frac{r}{2}\,\frac{dB}{dt}.
Esse E_\varphi circular mostra claramente que \mathbf{E} tem circulação não nula e portanto não é o gradiente de um escalar. Observação prática: se \dfrac{dB}{dt} for diferente de zero, um fio circular no campo experimentará uma força elétrica tangencial que pode impulsionar corrente — isso é uma transformação direta de variação magnética em corrente elétrica.

Passo 9

Como ainda podemos usar potenciais (visão avançada, solução parcial): o fato de que \mathbf{E} não pode ser escrito apenas como -\nabla\varphi não significa que não existam potenciais úteis. A abordagem correta em regime dinâmico é introduzir o potencial vetor \mathbf{A}(\mathbf{r},t) tal que
\mathbf{B} \;=\; \nabla\times\mathbf{A}.
Substituindo na forma diferencial de Faraday e usando identidades vetoriais obtém-se consistente e convenientemente
\mathbf{E} \;=\; -\nabla\varphi - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t},
onde \varphi(\mathbf{r},t) é o potencial escalar e \mathbf{A} o potencial vetor. Aqui:
  • O termo -\partial\mathbf{A}/\partial t é responsável pelas partes de \mathbf{E} que têm rotacional não nulo.
  • Existe liberdade de calibre: \varphi e \mathbf{A} não são únicos; podem ser transformados sem alterar \mathbf{E} e \mathbf{B}. Essa liberdade é essencial para acomodar a natureza não-conservativa de \mathbf{E} quando \partial_t\mathbf{B}\neq0.
  • Em resumo: na eletrostática ( \partial_t\mathbf{B}=0) podemos escolher \mathbf{A}=0 (ou uma escolha de calibre que anula \partial_t\mathbf{A}) e recuperar \mathbf{E}=-\nabla\varphi. Em regimes dinâmicos, \partial_t\mathbf{A} geralmente não é zero e completa o campo elétrico.

Passo 10

Observações finais e conexão com ideia mais profunda (relatividade e topologia, breve):
  • Do ponto de vista relativístico, \mathbf{E} e \mathbf{B} são componentes do mesmo tensor eletromagnético. Uma variação temporal de \mathbf{B} numa dada barra de referência se manifesta como um \mathbf{E} observável — não é surpresa, portanto, que tempo e espaço entrem misturados e impeçam a separação simples entre potencial escalar e campo.
  • Topologia: em regiões não simplesmente conexas (por exemplo com buracos), até campos com \nabla\times\mathbf{E}=0 podem não ser gradientes globais; isso é outro detalhe avançado que mostra que tanto a conectividade do domínio quanto a dependência temporal importam para a existência de um potencial escalar único.

Resposta

\nabla\times\mathbf{E} = -\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}

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