Exercício 2) Para as notações de desigualdades dadas abaixo descreva, analítica e geometricamente, seus lugares geométricos.
B: 0 \leq y \leq \sqrt{1-x^{2}-z^{2}}.

Passo 1

O enunciado define o conjunto B\subset\mathbb{R}^3 pela desigualdade dupla
0 \le y \le \sqrt{1 - x^2 - z^2}.
O conteúdo aqui envolve regiões em \mathbb{R}^3 dadas por desigualdades e sua interpretação em termos de esferas e planos.

Passo 2

Para que a raiz \sqrt{1 - x^2 - z^2} seja real, é preciso
1 - x^2 - z^2 \ge 0
ou seja
x^2 + z^2 \le 1.
Além disso, a própria condição pede y\ge0 e y\le\sqrt{1 - x^2 - z^2}.

Passo 3

Elevando ao quadrado a desigualdade y \le \sqrt{1 - x^2 - z^2} (sabendo que y\ge0 e a raiz é não-negativa), obtemos
y^2 \le 1 - x^2 - z^2 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 + y^2 + z^2 \le 1.
Logo a descrição analítica se torna
B = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 \le 1,\; y \ge 0\}.

Passo 4

Geometricamente, a equação x^2 + y^2 + z^2 = 1 é uma esfera de raio 1 centrada na origem, e a condição y \ge 0 seleciona a metade “superior” dessa esfera. Como temos \le1, trata-se da semiesfera sólida de raio 1 acima do plano y=0.

Resposta

Analítica:
B = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 \le 1,\; y \ge 0\}.
Geométrica: semiesfera sólida de raio 1 centrada na origem, situada na parte y\ge0 do espaço.

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