Exercício 1) Para as notações de igualdades dadas abaixo descreva, analítica e geometricamente, seus lugares geométricos.
C:(z-1)^{2}=x^{2}+y^{2};

Passo 1

O enunciado dá o lugar geométrico
C:\,(z-1)^2 = x^2 + y^2
onde z = x + i y. O objetivo é encontrar, em coordenadas cartesiana (x,y) e em termos de z, a descrição analítica de C e depois dar sua interpretação geométrica no plano complexo.

Passo 2

Interpretemos (z-1)^2 como o quadrado da distância de z ao ponto 1 no plano complexo, e x^2+y^2 como o quadrado da distância de z à origem. Logo estamos impondo
|z-1|^2 = |z|^2.
Escrevendo z = x + i y, temos
|z-1|^2 = (x-1)^2 + y^2 \quad\text{e}\quad |z|^2 = x^2 + y^2.

Passo 3

Igualando as duas expressões:
(x-1)^2 + y^2 = x^2 + y^2.
Cancelamos y^2 dos dois lados e expandimos:
(x-1)^2 = x^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 2x + 1 = x^2 \quad\Longrightarrow\quad -2x + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac12.

Passo 4

A equação x = \tfrac12 representa, no plano (x,y), a reta vertical que passa por x=\tfrac12. Geometricamente, é o lugar de todos os pontos que estão à mesma distância de 0 e de 1: ou seja, a mediatriz do segmento que une 0 a 1.

Resposta

Analítica:
C = \{\,z\in\mathbb{C}\mid \Re(z) = \tfrac12\}.
Geométrica: reta vertical (mediatriz do segmento de extremidades 0 e 1) no plano complexo, dada por x=\tfrac12.

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