Exercício 1) Para as notações de igualdades dadas abaixo descreva, analítica e geometricamente, seus lugares geométricos.
P: z=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para descrever, analítica e geometricamente, o lugar geométrico dado pela igualdade
P:\;z = (x-1)^{2} + (y-1)^{2}.
O conteúdo é geometria analítica de superfícies em \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Analiticamente, podemos escrever o lugar geométrico como o conjunto de todos os pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} que satisfazem
z = (x-1)^{2} + (y-1)^{2}.
Note que (x-1)^{2} + (y-1)^{2}\ge 0 para todo (x,y), logo z\ge0.

Passo 3

Geometricamente, para cada valor fixo z=c\ge0 a interseção de P com o plano z=c é
(x-1)^{2} + (y-1)^{2} = c,
ou seja, um círculo de raio \sqrt{c} centrado em (1,1,c) no plano horizontal z=c.

Passo 4

Portanto, P é um paraboloide circular de revolução cujo vértice fica em (1,1,0) e cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo z, abrindo-se para valores crescentes de z.

Resposta

O lugar geométrico
P = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z = (x-1)^2 + (y-1)^2\}
é um paraboloide circular de vértice em (1,1,0) e eixo paralelo ao eixo z.

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