Exercício (novo) 9. Considere um baralho tradicional com 52 cartas:
e
de cada um dos quatro naipes $(paus), ◇ (ouro),
(copas) e (espada).
a) Considere o experimento em que uma carta é retirada ao acaso. Descreva o espaço de probabilidade que modela esse experimento, isto é: descreva quem é o espaço amostral e como é calculada a função de probabilidade.
b) Seja
o evento em que uma carta 5 é retirada. Calcule
.
c) Seja
o evento em que uma carta
é retirada. Calcule
.
d) Seja
o evento em que uma carta △ é retirada. Calcule
.
e) Descreva em palavras o que é
e calcule
.
f) Descreva em palavras o que é
e calcule
.
g) Descreva em palavras o que é
e calcule
.
h) Descreva em palavras o que é
e calcule
.
i) Calcule
.
a) Considere o experimento em que uma carta é retirada ao acaso. Descreva o espaço de probabilidade que modela esse experimento, isto é: descreva quem é o espaço amostral e como é calculada a função de probabilidade.
b) Seja
c) Seja
d) Seja
e) Descreva em palavras o que é
f) Descreva em palavras o que é
g) Descreva em palavras o que é
h) Descreva em palavras o que é
i) Calcule
Passo 1
O enunciado dá um baralho tradicional com
cartas: os valores
em cada um dos quatro naipes (paus, ouros, copas e espadas). As perguntas pedem, para um sorteio de uma carta ao acaso:
a) descrever o espaço amostral e a função de probabilidade;
b) calcular onde
= “sai um 5”;
c) calcular onde
= “sai um J”;
d) calcular onde
= “sai uma carta do naipe ouros (◇)”;
e) descrever em palavras e calcular
;
f) descrever em palavras e calcular
;
g) descrever em palavras e calcular
;
h) descrever em palavras e calcular
(nota: o enunciado repete a descrição de
e pede
);
i) calcular .
a) descrever o espaço amostral e a função de probabilidade;
b) calcular
c) calcular
d) calcular
e) descrever em palavras
f) descrever em palavras
g) descrever em palavras
h) descrever em palavras
i) calcular
Passo 2
Definindo o modelo probabilístico (resposta a). O espaço amostral é o conjunto de todas as cartas do baralho: seja
esse conjunto com
. Como a carta é retirada “ao acaso” e todas as cartas são igualmente possíveis, adotamos o modelo de probabilidade uniforme discreto. A função de probabilidade para qualquer evento
é
onde
é o número de cartas favoráveis ao evento
. Explicação didática curta: em um experimento com
resultados igualmente prováveis, a probabilidade de um subconjunto com
resultados é
. Aqui
.
Passo 3
Calcular
(resposta b). O evento
= “sai um 5”. No baralho há exatamente uma carta 5 em cada naipe, logo existem
cartas que são 5. Portanto
e, usando a fórmula,
Interpretação: a chance de tirar um 5 é uma entre treze.
Passo 4
Calcular
(resposta c). O evento
= “sai um J”. Pel mesmo raciocínio: há
valetes (um por naipe), então
e
Passo 5
Calcular
(resposta d). O evento
= “sai uma carta do naipe ouros (◇)”. Cada naipe tem
cartas (valores
a
), então
e
Interpretação: um quarto das cartas pertence a cada naipe.
Passo 6
Descrever
e calcular
(resposta e). Em palavras,
é o evento “sair um 5 ou um J” (ou seja, a carta é de valor 5 ou de valor J). Como nenhum cartão pode ser simultaneamente 5 e J, os conjuntos
e
são disjuntos; logo
e
Dica prática para prova: quando dois eventos são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer juntos), a probabilidade da união é a soma das probabilidades.
Passo 7
Descrever
e calcular
(resposta f). Em palavras,
é o evento “a carta é ao mesmo tempo um 5 e um J”. Isso é impossível porque uma carta tem um único valor. Portanto
e
Passo 8
Descrever
e calcular
(resposta g). Em palavras,
é o evento “sair um 5 ou sair uma carta do naipe ouros”. Para contar
use inclusão simples: some
e
e subtraia a interseção
(pois essas cartas foram contadas duas vezes). Aqui
é a carta “5 de ouros”, então
. Assim
logo
Observação didática: contar com cuidado a interseção evita dupla contagem.
Passo 9
Descrever
novamente e calcular
(resposta h). Em palavras,
(repete) é “cartas que são 5 e J ao mesmo tempo”, evento vazio; já
é o evento “sair o 5 de ouros” (cartas que são 5 e do naipe ouros ao mesmo tempo). Há exatamente uma carta assim, então
Dica prática: interseções entre “valor X” e “naipe Y” sempre têm tamanho 1 (ou 0 se contraditório).
Passo 10
Calcular
(resposta i) usando a fórmula da inclusão-exclusão para três conjuntos. A fórmula em termos de probabilidades é
Já temos
,
,
. Além disso
,
. Analogamente
é a probabilidade de “J de ouros”, que também é
. E
é impossível, logo probabilidade
. Substituindo e calculando em termos de cinquenta e dois avos:
Portanto
Interpretação rápida: contando cartas, há
cartas que são 5, J ou do naipe ouros (verificação:
5s +
Js +
ouros −
(5 de ouros) −
(J de ouros) =
).
Passo 11
Recapitulando rápido e te animando: todas as contas são contagens simples divididas por
. Se fizer passo a passo assim na prova — contar favoráveis, tomar cuidado com interseções para não contar duas vezes e aplicar inclusão-exclusão quando necessário — você resolve tranquilo. Vai dar certo, força!
Resposta
a) Espaço amostral
: conjunto das
cartas. Probabilidade uniforme
para
.
b) .
c) .
d) .
e) = “sair um 5 ou um J”.
.
f) = “sair uma carta que é 5 e J ao mesmo tempo” (impossível).
.
g) = “sair um 5 ou uma carta do naipe ouros”.
.
h) = “sair uma carta que é 5 e J ao mesmo tempo” (impossível).
.
i) .
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)