Exercício (novo) 9. Considere um baralho tradicional com 52 cartas: A, 2,3, \ldots, 10, J, Q e K de cada um dos quatro naipes $(paus), ◇ (ouro), \vee (copas) e (espada).
a) Considere o experimento em que uma carta é retirada ao acaso. Descreva o espaço de probabilidade que modela esse experimento, isto é: descreva quem é o espaço amostral e como é calculada a função de probabilidade.
b) Seja A o evento em que uma carta 5 é retirada. Calcule P(A).
c) Seja B o evento em que uma carta J é retirada. Calcule P(B).
d) Seja C o evento em que uma carta △ é retirada. Calcule P\text{(C)}.
e) Descreva em palavras o que é A \cup B e calcule P(A \cup B).
f) Descreva em palavras o que é A \cap B e calcule P(A \cap B).
g) Descreva em palavras o que é A \cup C e calcule P(A \cup C).
h) Descreva em palavras o que é A \cap B e calcule P(A \cap C).
i) Calcule P(A \cup B \cup C).

Passo 1

O enunciado dá um baralho tradicional com 52 cartas: os valores A,2,3,\ldots,10,J,Q,K em cada um dos quatro naipes (paus, ouros, copas e espadas). As perguntas pedem, para um sorteio de uma carta ao acaso:
a) descrever o espaço amostral e a função de probabilidade;
b) calcular P(A) onde A = “sai um 5”;
c) calcular P(B) onde B = “sai um J”;
d) calcular P\text{(C)} onde C = “sai uma carta do naipe ouros (◇)”;
e) descrever em palavras A \cup B e calcular P(A \cup B);
f) descrever em palavras A \cap B e calcular P(A \cap B);
g) descrever em palavras A \cup C e calcular P(A \cup C);
h) descrever em palavras A \cap B e calcular P(A \cap C) (nota: o enunciado repete a descrição de A\cap B e pede P(A\cap C));
i) calcular P(A \cup B \cup C).

Passo 2

Definindo o modelo probabilístico (resposta a). O espaço amostral é o conjunto de todas as cartas do baralho: seja S esse conjunto com |S|=52. Como a carta é retirada “ao acaso” e todas as cartas são igualmente possíveis, adotamos o modelo de probabilidade uniforme discreto. A função de probabilidade para qualquer evento E\subseteq S é
P(E)=\frac{|E|}{52},
onde |E| é o número de cartas favoráveis ao evento E. Explicação didática curta: em um experimento com n resultados igualmente prováveis, a probabilidade de um subconjunto com k resultados é k/n. Aqui n=52.

Passo 3

Calcular P(A) (resposta b). O evento A = “sai um 5”. No baralho há exatamente uma carta 5 em cada naipe, logo existem 4 cartas que são 5. Portanto |A|=4 e, usando a fórmula,
P(A)=\frac{|A|}{52}=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}.
Interpretação: a chance de tirar um 5 é uma entre treze.

Passo 4

Calcular P(B) (resposta c). O evento B = “sai um J”. Pel mesmo raciocínio: há 4 valetes (um por naipe), então |B|=4 e
P(B)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}.

Passo 5

Calcular P\text{(C)} (resposta d). O evento C = “sai uma carta do naipe ouros (◇)”. Cada naipe tem 13 cartas (valores A a K), então |C|=13 e
P\text{(C)}=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}.
Interpretação: um quarto das cartas pertence a cada naipe.

Passo 6

Descrever A\cup B e calcular P(A\cup B) (resposta e). Em palavras, A\cup B é o evento “sair um 5 ou um J” (ou seja, a carta é de valor 5 ou de valor J). Como nenhum cartão pode ser simultaneamente 5 e J, os conjuntos A e B são disjuntos; logo
|A\cup B|=|A|+|B|=4+4=8
e
P(A\cup B)=\frac{8}{52}=\frac{2}{13}.
Dica prática para prova: quando dois eventos são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer juntos), a probabilidade da união é a soma das probabilidades.

Passo 7

Descrever A\cap B e calcular P(A\cap B) (resposta f). Em palavras, A\cap B é o evento “a carta é ao mesmo tempo um 5 e um J”. Isso é impossível porque uma carta tem um único valor. Portanto A\cap B=\varnothing e
P(A\cap B)=0.

Passo 8

Descrever A\cup C e calcular P(A\cup C) (resposta g). Em palavras, A\cup C é o evento “sair um 5 ou sair uma carta do naipe ouros”. Para contar |A\cup C| use inclusão simples: some |A| e |C| e subtraia a interseção |A\cap C| (pois essas cartas foram contadas duas vezes). Aqui A\cap C é a carta “5 de ouros”, então |A\cap C|=1. Assim
|A\cup C|=|A|+|C|-|A\cap C|=4+13-1=16,
logo
P(A\cup C)=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}.
Observação didática: contar com cuidado a interseção evita dupla contagem.

Passo 9

Descrever A\cap B novamente e calcular P(A\cap C) (resposta h). Em palavras, A\cap B (repete) é “cartas que são 5 e J ao mesmo tempo”, evento vazio; já A\cap C é o evento “sair o 5 de ouros” (cartas que são 5 e do naipe ouros ao mesmo tempo). Há exatamente uma carta assim, então
P(A\cap C)=\frac{1}{52}.
Dica prática: interseções entre “valor X” e “naipe Y” sempre têm tamanho 1 (ou 0 se contraditório).

Passo 10

Calcular P(A\cup B\cup C) (resposta i) usando a fórmula da inclusão-exclusão para três conjuntos. A fórmula em termos de probabilidades é
P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P\text{(C)}-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C).
Já temos P(A)=\dfrac{1}{13}, P(B)=\dfrac{1}{13}, P\text{(C)}=\dfrac{1}{4}. Além disso P(A\cap B)=0, P(A\cap C)=\dfrac{1}{52}. Analogamente P(B\cap C) é a probabilidade de “J de ouros”, que também é \dfrac{1}{52}. E A\cap B\cap C é impossível, logo probabilidade 0. Substituindo e calculando em termos de cinquenta e dois avos:
P(A\cup B\cup C)=\frac{4}{52}+\frac{4}{52}+\frac{13}{52}-0-\frac{1}{52}-\frac{1}{52}+0=\frac{19}{52}.
Portanto
P(A\cup B\cup C)=\frac{19}{52}.
Interpretação rápida: contando cartas, há 19 cartas que são 5, J ou do naipe ouros (verificação: 4 5s + 4 Js + 13 ouros − 1 (5 de ouros) − 1 (J de ouros) = 19).

Passo 11

Recapitulando rápido e te animando: todas as contas são contagens simples divididas por 52. Se fizer passo a passo assim na prova — contar favoráveis, tomar cuidado com interseções para não contar duas vezes e aplicar inclusão-exclusão quando necessário — você resolve tranquilo. Vai dar certo, força!

Resposta

a) Espaço amostral S: conjunto das 52 cartas. Probabilidade uniforme P(E)=\dfrac{|E|}{52} para E\subseteq S.
b) P(A)=\dfrac{1}{13}.
c) P(B)=\dfrac{1}{13}.
d) P\text{(C)}=\dfrac{1}{4}.
e) A\cup B = “sair um 5 ou um J”. P(A\cup B)=\dfrac{2}{13}.
f) A\cap B = “sair uma carta que é 5 e J ao mesmo tempo” (impossível). P(A\cap B)=0.
g) A\cup C = “sair um 5 ou uma carta do naipe ouros”. P(A\cup C)=\dfrac{4}{13}.
h) A\cap B = “sair uma carta que é 5 e J ao mesmo tempo” (impossível). P(A\cap C)=\dfrac{1}{52}.
i) P(A\cup B\cup C)=\dfrac{19}{52}.

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