Exercício 5 (Matemática). Sejam
e
subconjuntos de
. Verifique que
;
Passo 1
O enunciado dá que
e
são subconjuntos de
e que
. Pede-se para verificar (mostrar) a igualdade
Informações relevantes fornecidas:
-
e são conjuntos (subconjuntos de ). -
é o complemento de em relação a . - Precisa-se mostrar que os dois conjuntos à esquerda e à direita da igualdade são exatamente os mesmos (ou seja, contêm os mesmos elementos).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar definições e a estratégia para provar igualdade entre conjuntos:
- Definição de pertencimento:
significa que o elemento pertence ao conjunto . - Interseção:
se, e somente se, e . - União:
se, e somente se, ou (ou ambos). - Complemento:
significa que e . - Para provar que dois conjuntos
e são iguais, a maneira padrão é mostrar duas inclusões: e . Vou usar exatamente esse método porque é direto e elementar.
Passo 3
Provar que
Tomemos um elemento qualquer
tal que
. Pelo princípio do terceiro excluído (para qualquer proposição
, ou
é verdadeira ou
é falsa), aplicado à proposição “
”, temos duas possibilidades:
- Caso 1:
. Então, como também , resulta que . Logo . - Caso 2:
. Como e , pela definição de complemento isso quer dizer . Portanto , e assim .
Em qualquer dos dois casos,
. Como
foi um elemento arbitrário, concluímos que
Passo 4
Provar que
Tomemos um elemento qualquer
tal que
Pela definição de união, isso significa que ou
ou
.
- Se
, então, pela definição de interseção, e ; em particular . - Se
, então e ; em particular .
Em ambos os subcasos obtemos
. Como
foi escolhido arbitrariamente, segue que
Passo 5
Juntando as inclusões das Passos 3 e 4, obtemos
Portanto os dois conjuntos são iguais:
Passo 6
Interpretação e exemplo concreto (para fixar a ideia): a igualdade diz que todo elemento de
ou está em
(portanto em
) ou não está em
(portanto em
); esses dois pedaços cobrem exatamente
. Exemplo numérico: seja
,
,
. Então
,
,
e