Exercício 5 (Matemática). Sejam A e B subconjuntos de S \neq \emptyset. Verifique que
A=(A \cap B) \cup\left(A \cap B^{c}\right);

Passo 1

O enunciado dá que A e B são subconjuntos de S e que S\neq\emptyset. Pede-se para verificar (mostrar) a igualdade
A = (A \cap B) \cup \left(A \cap B^{c}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • A e B são conjuntos (subconjuntos de S).
  • B^{c} é o complemento de B em relação a S.
  • Precisa-se mostrar que os dois conjuntos à esquerda e à direita da igualdade são exatamente os mesmos (ou seja, contêm os mesmos elementos).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar definições e a estratégia para provar igualdade entre conjuntos:
  • Definição de pertencimento: x\in X significa que o elemento x pertence ao conjunto X.
  • Interseção: x\in (X\cap Y) se, e somente se, x\in X e x\in Y.
  • União: x\in (X\cup Y) se, e somente se, x\in X ou x\in Y (ou ambos).
  • Complemento: x\in X^{c} significa que x\in S e x\notin X.
  • Para provar que dois conjuntos U e V são iguais, a maneira padrão é mostrar duas inclusões: U\subseteq V e V\subseteq U. Vou usar exatamente esse método porque é direto e elementar.

Passo 3

Provar que
A \subseteq (A \cap B)\cup\left(A\cap B^{c}\right).
Tomemos um elemento qualquer x tal que x\in A. Pelo princípio do terceiro excluído (para qualquer proposição P, ou P é verdadeira ou P é falsa), aplicado à proposição “ x\in B”, temos duas possibilidades:
  • Caso 1: x\in B. Então, como também x\in A, resulta que x\in (A\cap B). Logo x\in (A\cap B)\subseteq (A\cap B)\cup\left(A\cap B^{c}\right).
  • Caso 2: x\notin B. Como x\in A e x\notin B, pela definição de complemento isso quer dizer x\in B^{c}. Portanto x\in (A\cap B^{c}), e assim x\in (A\cap B^{c})\subseteq (A\cap B)\cup\left(A\cap B^{c}\right).
Em qualquer dos dois casos, x\in (A\cap B)\cup\left(A\cap B^{c}\right). Como x\in A foi um elemento arbitrário, concluímos que
A \subseteq (A \cap B)\cup\left(A\cap B^{c}\right).

Passo 4

Provar que
(A \cap B)\cup\left(A\cap B^{c}\right) \subseteq A.
Tomemos um elemento qualquer x tal que
x\in (A \cap B)\cup\left(A\cap B^{c}\right).
Pela definição de união, isso significa que ou x\in (A\cap B) ou x\in (A\cap B^{c}).
  • Se x\in (A\cap B), então, pela definição de interseção, x\in A e x\in B; em particular x\in A.
  • Se x\in (A\cap B^{c}), então x\in A e x\in B^{c}; em particular x\in A.
Em ambos os subcasos obtemos x\in A. Como x foi escolhido arbitrariamente, segue que
(A \cap B)\cup\left(A\cap B^{c}\right) \subseteq A.

Passo 5

Juntando as inclusões das Passos 3 e 4, obtemos
A \subseteq (A \cap B)\cup\left(A\cap B^{c}\right) \qquad\text{e}\qquad (A \cap B)\cup\left(A\cap B^{c}\right) \subseteq A.
Portanto os dois conjuntos são iguais:
A = (A \cap B)\cup\left(A\cap B^{c}\right).

Passo 6

Interpretação e exemplo concreto (para fixar a ideia): a igualdade diz que todo elemento de A ou está em B (portanto em A\cap B) ou não está em B (portanto em A\cap B^{c}); esses dois pedaços cobrem exatamente A. Exemplo numérico: seja S=\{1,2,3\}, A=\{1,2\}, B=\{2,3\}. Então B^{c}=\{1\}, A\cap B=\{2\}, A\cap B^{c}=\{1\} e
(A\cap B)\cup(A\cap B^{c})=\{2\}\cup\{1\}=\{1,2\}=A.

Resposta

A=(A \cap B) \cup\left(A \cap B^{c}\right)

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