• Exercício 1: O número médio de chamadas que uma central recebe é de 3 por minuto. Qual a probabilidade de receber exatamente 2 chamadas em um minuto especifico?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede claramente uma probabilidade:
  • O número médio de chamadas que a central recebe é de \lambda=3 por minuto.
  • Pergunta: qual a probabilidade de receber exatamente 2 chamadas em um minuto específico?

Passo 2

Escolhendo o modelo adequado (explicação didática).
  • Quando temos eventos que ocorrem de forma independente ao longo do tempo com uma taxa média conhecida por unidade de tempo (aqui, chamadas por minuto) e queremos a probabilidade de um certo número de eventos em um intervalo fixo, o modelo padrão é a distribuição de Poisson.
  • A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X=k)=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!}
onde:
  • X é a variável aleatória que conta o número de eventos no intervalo (aqui, número de chamadas em 1 minuto),
  • \lambda é a média esperada de eventos no intervalo (aqui, \lambda=3),
  • k é o número de eventos que queremos a probabilidade (aqui, k=2),
  • k! é o fatorial de k, isto é, k!=k\cdot(k-1)\cdots1 (por convenção 0!=1),
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828\ldots).
  • Intuição rápida: a fórmula combina a probabilidade decrescente com o aumento do número observado (via e^{-\lambda}) com o ajuste pela taxa média e por quantas maneiras os k eventos podem ocorrer (via \lambda^{k}/k!).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso \lambda=3 e k=2.
  • Primeiro calculemos os termos numéricos:
    • \lambda^{k}=3^{2}=9.
    • k!=2!=2.
  • Substituindo na fórmula:
P(X=2)=\frac{3^{2} e^{-3}}{2!}=\frac{9\,e^{-3}}{2}.
Essa é a forma exata da probabilidade.

Passo 4

Converter para valor numérico (passo a passo, sem pular etapas).
  • Calcular e^{-3}. Como e\approx2,71828, tem-se e^{3}\approx20,085537 e portanto
e^{-3}=\frac{1}{e^{3}}\approx0,04978707.
  • Multiplicar por 9:
9\cdot e^{-3}\approx9\cdot0,04978707\approx0,44808363.
  • Dividir por 2:
\frac{9\,e^{-3}}{2}\approx\frac{0,44808363}{2}\approx0,22404182.
  • Arredondando de forma prática para uma prova, podemos usar 0,2240 (quatro casas decimais) ou expressar em porcentagem como 22,40\%.

Resposta

\dfrac{9\,e^{-3}}{2}\approx0,2240

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