• Exercício 2: Em um livro de 500 páginas, há em média 1 erro por página. Qual a probabilidade de uma página escolhida ao acaso não ter erros?

Passo 1

O enunciado dá a informação e faz a pergunta a seguir.
  • Informação fornecida: há em média 1 erro por página de um livro de 500 páginas.
  • Pergunta: qual a probabilidade de uma página escolhida ao acaso não ter erros?

Passo 2

Vamos modelar matematicamente o número de erros em uma página.
  • Definimos a variável aleatória X = número de erros em uma página escolhida ao acaso.
  • A informação “em média 1 erro por página” significa que a esperança (valor médio) de X é \mathbb{E}[X]=1. Denotamos esse parâmetro médio por \lambda, então \lambda=1.
Aqui é importante entender o significado de \lambda: \lambda é o número médio de ocorrências (erros) por unidade (aqui, por página). Não é um número aleatório — é o valor médio conhecido do processo.

Passo 3

Escolha do modelo probabilístico (motivo e fórmula).
  • Quando contamos o número de ocorrências raras em unidades independentes (erros numa página), um modelo padrão e simples é a distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson é apropriada quando:
    1. Ocorrências são discretas (0, 1, 2, …).
    2. A média de ocorrências por unidade é conhecida e finita ( \lambda).
    3. Ocorrências em unidades diferentes são aproximadamente independentes e não se acumulam continuamente (assumimos isso para páginas).
  • A fórmula da função massa de probabilidade (pmf) da Poisson é:
P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},
onde:
  • k é um número inteiro não-negativo representando o número de ocorrências que queremos a probabilidade (por exemplo, k=0,1,2,\dots),
  • \lambda é a média esperada \mathbb{E}[X],
  • e é a base dos logaritmos naturais ( e\approx2,71828),
  • k! é o fatorial de k (por exemplo, 0!=1, 1!=1, 2!=2, etc.).

Passo 4

Aplicar a fórmula para a pergunta específica: probabilidade de não haver erros.
  • A pergunta pede P(X=0). Substituindo k=0 e \lambda=1 na fórmula da Poisson:
P(X=0)=\frac{1^{0}e^{-1}}{0!}.

Passo 5

Simplificar a expressão e interpretar.
  • Calculando passo a passo:
    • 1^{0}=1.
    • 0!=1.
    • Logo
P(X=0)=\frac{1\cdot e^{-1}}{1}=e^{-1}.
  • Então a resposta exata é e^{-1}.

Passo 6

Obter uma aproximação numérica (útil para conferir na prova).
  • Usando e\approx2,71828, temos
e^{-1}=\frac{1}{e}\approx\frac{1}{2,71828}\approx0,3679.
  • Portanto, numericamente, a probabilidade de uma página não ter erros é aproximadamente 0,3679 (ou cerca de 36,79\%).

Resposta

e^{-1}\approx0,3679

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