- Exercício 2: Em um livro de 500 páginas, há em média 1 erro por página. Qual a probabilidade de uma página escolhida ao acaso não ter erros?
Passo 1
O enunciado dá a informação e faz a pergunta a seguir.
- Informação fornecida: há em média
erro por página de um livro de páginas. - Pergunta: qual a probabilidade de uma página escolhida ao acaso não ter erros?
Passo 2
Vamos modelar matematicamente o número de erros em uma página.
- Definimos a variável aleatória
= número de erros em uma página escolhida ao acaso. - A informação “em média
erro por página” significa que a esperança (valor médio) de é . Denotamos esse parâmetro médio por , então .
Aqui é importante entender o significado de
:
é o número médio de ocorrências (erros) por unidade (aqui, por página). Não é um número aleatório — é o valor médio conhecido do processo.
Passo 3
Escolha do modelo probabilístico (motivo e fórmula).
-
Quando contamos o número de ocorrências raras em unidades independentes (erros numa página), um modelo padrão e simples é a distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson é apropriada quando:
- Ocorrências são discretas (0, 1, 2, …).
- A média de ocorrências por unidade é conhecida e finita (
). - Ocorrências em unidades diferentes são aproximadamente independentes e não se acumulam continuamente (assumimos isso para páginas).
-
A fórmula da função massa de probabilidade (pmf) da Poisson é:
onde:
-
é um número inteiro não-negativo representando o número de ocorrências que queremos a probabilidade (por exemplo, ), -
é a média esperada , -
é a base dos logaritmos naturais ( ), -
é o fatorial de (por exemplo, , , , etc.).
Passo 4
Aplicar a fórmula para a pergunta específica: probabilidade de não haver erros.
- A pergunta pede
. Substituindo e na fórmula da Poisson:
Passo 5
Simplificar a expressão e interpretar.
- Calculando passo a passo:
-
. -
. - Logo
-
- Então a resposta exata é
.
Passo 6
Obter uma aproximação numérica (útil para conferir na prova).
- Usando
, temos
- Portanto, numericamente, a probabilidade de uma página não ter erros é aproximadamente
(ou cerca de ).