• Exercício 5: Em uma prova de 8 questões do tipo " V ou F ", qual a probabilidade de um aluno que chuta todas acertar pelo menos 7 questões?

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • O enunciado nos diz que a prova tem 8 questões do tipo “V ou F”.
  • O aluno “chuta” todas as respostas, ou seja, para cada questão escolhe aleatoriamente entre Verdadeiro e Falso sem informação.
  • Pergunta: qual a probabilidade de o aluno acertar pelo menos 7 questões?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Número total de questões: n=8.
  • Para cada questão, a probabilidade de acertar ao chutar é p=\tfrac{1}{2}.
  • Assumimos que os chutes em questões diferentes são independentes (cada acerto/erro não influencia os outros).

Passo 2

Modelagem do problema — definir a variável aleatória que usaremos.
  • Seja X o número de acertos do aluno nas 8 questões.
  • Como cada questão tem duas opções igualmente prováveis e os chutes são independentes, X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=8 e p=\tfrac{1}{2}. Escrevemos isso como X\sim\text{Bin}(n,p) com n=8 e p=\tfrac{1}{2}.
Lembrete do que significa a distribuição binomial:
\text{Para }X\sim\text{Bin}(n,p),\qquad \Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{\,n-k}.
Aqui:
  • \Pr(X=k) é a probabilidade de exatamente k acertos.
  • \binom{n}{k} é o número de formas (combinações) de escolher quais k questões são as corretas entre as n.
  • p^{k}(1-p)^{n-k} é a probabilidade de uma sequência específica com k acertos e n-k erros.

Passo 3

Escrever a probabilidade pedida em termos da distribuição binomial.
  • Queremos a probabilidade de "pelo menos 7" acertos, isto é
\Pr(X\ge 7)=\Pr(X=7)+\Pr(X=8).
  • Usando a fórmula binomial com n=8 e p=\tfrac{1}{2}:
\Pr(X=k)=\binom{8}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{8-k}=\binom{8}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{8}.
Note que para p=\tfrac{1}{2} simplifica para \binom{8}{k}(\tfrac{1}{2})^{8} porque p^{k}(1-p)^{8-k}=(\tfrac{1}{2})^{k}(\tfrac{1}{2})^{8-k}=(\tfrac{1}{2})^{8}.

Passo 4

Calcular \binom{8}{7} e \binom{8}{8} (explicando combinações e fatoriais).
  • Definição de combinação:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é n!=n\cdot(n-1)\cdots 2\cdot1.
  • Calcular \binom{8}{7}:
\binom{8}{7}=\frac{8!}{7!\,1!}=\frac{8\cdot7!}{7!\cdot1}=8.
  • Calcular \binom{8}{8}:
\binom{8}{8}=\frac{8!}{8!\,0!}=1,
pois 0!=1 por definição.

Passo 5

Calcular \Pr(X=7) e \Pr(X=8) usando os resultados anteriores.
  • Para k=7:
\Pr(X=7)=\binom{8}{7}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{8}=8\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{8}.
Calculemos \left(\tfrac{1}{2}\right)^{8}=\tfrac{1}{2^{8}}=\tfrac{1}{256}. Assim
\Pr(X=7)=8\cdot\tfrac{1}{256}=\tfrac{8}{256}=\tfrac{1}{32}.
  • Para k=8:
\Pr(X=8)=\binom{8}{8}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{8}=1\cdot\tfrac{1}{256}=\tfrac{1}{256}.

Passo 6

Somar as probabilidades para obter \Pr(X\ge 7) e interpretar o resultado.
  • Somando:
\Pr(X\ge 7)=\Pr(X=7)+\Pr(X=8)=\tfrac{8}{256}+\tfrac{1}{256}=\tfrac{9}{256}.
  • Simplificação e forma decimal/percentual:
\tfrac{9}{256}\approx 0,03515625 \approx 3,515625\%.
Interpretação curta e incentivo: é uma probabilidade pequena (cerca de 3{,}5\%), ou seja, chutar todas as respostas dá uma chance baixa de acertar pelo menos 7 de 8. Mas não desanime — estudar aumenta muito essa probabilidade! Você já começou bem buscando entender o raciocínio.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{256}\approx 0,03515625\\ (\approx 3,515625\%)

Exercícios relacionados