- Exercício 5: Em uma prova de 8 questões do tipo " V ou F ", qual a probabilidade de um aluno que chuta todas acertar pelo menos 7 questões?
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- O enunciado nos diz que a prova tem
questões do tipo “V ou F”. - O aluno “chuta” todas as respostas, ou seja, para cada questão escolhe aleatoriamente entre Verdadeiro e Falso sem informação.
- Pergunta: qual a probabilidade de o aluno acertar pelo menos
questões?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Número total de questões:
. - Para cada questão, a probabilidade de acertar ao chutar é
. - Assumimos que os chutes em questões diferentes são independentes (cada acerto/erro não influencia os outros).
Passo 2
Modelagem do problema — definir a variável aleatória que usaremos.
- Seja
o número de acertos do aluno nas questões. - Como cada questão tem duas opções igualmente prováveis e os chutes são independentes,
segue uma distribuição binomial com parâmetros e . Escrevemos isso como com e .
Lembrete do que significa a distribuição binomial:
Aqui:
-
é a probabilidade de exatamente acertos. -
é o número de formas (combinações) de escolher quais questões são as corretas entre as . -
é a probabilidade de uma sequência específica com acertos e erros.
Passo 3
Escrever a probabilidade pedida em termos da distribuição binomial.
- Queremos a probabilidade de "pelo menos
" acertos, isto é
- Usando a fórmula binomial com
e :
Note que para
simplifica para
porque
.
Passo 4
Calcular
e
(explicando combinações e fatoriais).
- Definição de combinação:
onde
(fatorial) é
.
- Calcular
:
- Calcular
:
pois
por definição.
Passo 5
Calcular
e
usando os resultados anteriores.
- Para
:
Calculemos
. Assim
- Para
:
Passo 6
Somar as probabilidades para obter
e interpretar o resultado.
- Somando:
- Simplificação e forma decimal/percentual:
Interpretação curta e incentivo: é uma probabilidade pequena (cerca de
), ou seja, chutar todas as respostas dá uma chance baixa de acertar pelo menos
de
. Mas não desanime — estudar aumenta muito essa probabilidade! Você já começou bem buscando entender o raciocínio.