Exercício 4: Obtenha a fórmula para a série de Balmer a partir do modelo atômico de Bohr para o átomo de Hidrogênio. Expresse a constante R em função de constantes fundamentais da natureza.
Com
Passo 1
O enunciado pede que a partir do modelo atômico de Bohr para o átomo de Hidrogênio se obtenha a fórmula da série de Balmer
com
, e que a constante
seja expressa em função de constantes fundamentais da natureza.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a forma final desejada da relação entre e
(com o nível final igual a
) e que devemos usar o modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a forma final desejada da relação entre
Passo 2
Postulados e relações essenciais do modelo de Bohr que usaremos (cada símbolo será explicado):
- Quantização do momento angular:
, onde é a massa do elétron, sua velocidade na órbita, o raio da órbita, o número quântico e a constante de Planck reduzida. - Força centrípeta igual à força coulombiana (órbita circular):
, onde é a carga elementar e a permissividade do vácuo. - Energia do fóton emitido numa transição entre níveis
: e , com velocidade da luz e constante de Planck.
Vamos usar essas relações para obter, a energia de cada nível e daí a fórmula para .
Passo 3
Determinar o raio da órbita
. Começamos da igualdade força centrípeta = força coulombiana:
Da quantização do momento angular temos
. Substituímos
na equação da força:
Simplificando
e potências de
, obtemos
Multiplicando ambos os lados por
e isolando
resulta
Explicação: aqui isolamos o raio resolvendo uma equação algébrica simples;
cresce com
(órbitas maiores para
maiores).
Passo 4
Determinar a energia total do elétron no nível
. A energia total é soma da energia cinética
e da energia potencial
:
Da igualdade das forças temos
, então
Logo a energia total é
Passo 5
Substituir
em
. Usando
e substituindo em
, temos
Agrupando fatores:
Agora simplificamos usando
(portanto
). Substituindo:
Observação didática: aqui mostramos cada substituição; o resultado é uma forma simples para
que depende de
.
Passo 6
Energia do fóton emitido numa transição
(nível final
, nível inicial
). A energia emitida é
Como
ocorrendo por emissão é positiva em módulo, a energia do fóton é
. Usamos a relação
. Assim,
Passo 7
Identificação da constante de Rydberg
. Comparando com a forma pedida
vemos que
Aqui
é a massa do elétron (no tratamento mais exato usa-se a massa reduzida do sistema elétron-próton, mas no modelo de Bohr para hidrogênio desprezando-se a mobilidade do núcleo usa-se
).