Exercício 4: Obtenha a fórmula para a série de Balmer a partir do modelo atômico de Bohr para o átomo de Hidrogênio. Expresse a constante R em função de constantes fundamentais da natureza.
\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)
Com \mathrm{n}=3,4 \ldots

Passo 1

O enunciado pede que a partir do modelo atômico de Bohr para o átomo de Hidrogênio se obtenha a fórmula da série de Balmer
\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right),
com \mathrm{n}=3,4,\ldots, e que a constante R seja expressa em função de constantes fundamentais da natureza.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a forma final desejada da relação entre 1/\lambda e n (com o nível final igual a 2) e que devemos usar o modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio.

Passo 2

Postulados e relações essenciais do modelo de Bohr que usaremos (cada símbolo será explicado):
  • Quantização do momento angular: \;m v r = n\hbar, onde \;m é a massa do elétron, \;v sua velocidade na órbita, \;r o raio da órbita, \;n\in\mathbb{N} o número quântico e \;\hbar=\dfrac{h}{2\pi} a constante de Planck reduzida.
  • Força centrípeta igual à força coulombiana (órbita circular): \;\dfrac{m v^{2}}{r}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{e^{2}}{r^{2}}, onde \;e é a carga elementar e \;\varepsilon_{0} a permissividade do vácuo.
  • Energia do fóton emitido numa transição entre níveis n_i\to n_f: \;h\nu=E_{i}-E_{f} e \;\nu=c/\lambda, com c velocidade da luz e h constante de Planck.
    Vamos usar essas relações para obter r_{n}, a energia de cada nível E_{n} e daí a fórmula para \dfrac{1}{\lambda}.

Passo 3

Determinar o raio da órbita \;r_{n}. Começamos da igualdade força centrípeta = força coulombiana:
\frac{m v^{2}}{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r^{2}}.
Da quantização do momento angular temos \;v=\dfrac{n\hbar}{m r}. Substituímos v na equação da força:
\frac{m}{r}\left(\frac{n\hbar}{m r}\right)^{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r^{2}}.
Simplificando m e potências de r, obtemos
\frac{n^{2}\hbar^{2}}{m r^{2} r}=\frac{n^{2}\hbar^{2}}{m r^{3}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por r^{3} e isolando r resulta
r_{n}=\frac{4\pi\varepsilon_{0}\, n^{2}\hbar^{2}}{m e^{2}}.
Explicação: aqui isolamos o raio resolvendo uma equação algébrica simples; r_n cresce com n^{2} (órbitas maiores para n maiores).

Passo 4

Determinar a energia total do elétron no nível n. A energia total é soma da energia cinética K e da energia potencial U:
K=\frac{1}{2}m v^{2},\qquad U=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}.
Da igualdade das forças temos m v^{2}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{e^{2}}{r}, então
K=\frac{1}{2}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}.
Logo a energia total é
E_{n}=K+U=\frac{1}{2}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}=-\frac{1}{2}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}.

Passo 5

Substituir r_{n} em E_{n}. Usando \;r_{n}=\dfrac{4\pi\varepsilon_{0}\, n^{2}\hbar^{2}}{m e^{2}} e substituindo em E_{n}=-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{e^{2}}{r_{n}}, temos
E_{n}=-\frac{1}{2}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{\dfrac{4\pi\varepsilon_{0}\, n^{2}\hbar^{2}}{m e^{2}}} = -\frac{1}{2}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2} m e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\, n^{2}\hbar^{2}}.
Agrupando fatores:
E_{n}=-\frac{m e^{4}}{2(4\pi\varepsilon_{0})^{2} n^{2}\hbar^{2}}.
Agora simplificamos usando \hbar=\dfrac{h}{2\pi} (portanto \hbar^{2}=\dfrac{h^{2}}{4\pi^{2}}). Substituindo:
E_{n}=-\frac{m e^{4}}{2(4\pi\varepsilon_{0})^{2} n^{2}}\cdot\frac{4\pi^{2}}{h^{2}} = -\frac{m e^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2} h^{2}}\cdot\frac{1}{n^{2}}.
Observação didática: aqui mostramos cada substituição; o resultado é uma forma simples para E_{n} que depende de 1/n^{2}.

Passo 6

Energia do fóton emitido numa transição n\to 2 (nível final n_{f}=2, nível inicial n_{i}=n>2). A energia emitida é
\Delta E = E_{2}-E_{n} = -\frac{m e^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2} h^{2}}\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right).
Como \Delta E ocorrendo por emissão é positiva em módulo, a energia do fóton é |\Delta E|. Usamos a relação h\nu=\dfrac{hc}{\lambda}=|\Delta E|. Assim,
\frac{1}{\lambda}=\frac{|\Delta E|}{hc}=\frac{m e^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2} h^{3} c}\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right).

Passo 7

Identificação da constante de Rydberg R. Comparando com a forma pedida
\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right),
vemos que
R=\frac{m e^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2} h^{3} c}.
Aqui \;m é a massa do elétron (no tratamento mais exato usa-se a massa reduzida do sistema elétron-próton, mas no modelo de Bohr para hidrogênio desprezando-se a mobilidade do núcleo usa-se m=m_{e}).

Resposta

\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)
R=\frac{m e^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2} h^{3} c}

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