A massa específica (rô) do silício (Si) é 2,33 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{\wedge} 3 e a massa (m) de um átomo de Si é 4,66 \times 10^{\wedge}-26 \mathrm{Kg}. Se os átomos são esféricos e densamente compactados, (a) qual é o volume de um átomo de Si em metros cúbicos e (b) qual é a distância entre os centros de dois átomos vizinhos em Jardas?
1 Jarda (yd) 91,44 \mathrm{~cm}
Sua resposta

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
Dados:
\text{massa específica (densidade) do Si: }\rho = 2,33\\ \mathrm{g/cm^{3}}í
\text{massa de um átomo de Si: } m = 4,66\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}á
1\\ \text{jarda (yd)} = 91,44\\ \mathrm{cm} = 0,9144\\ \mathrm{m}
Pedidos:
(a) achar o volume de um átomo de Si em \mathrm{m^{3}}.
(b) assumindo átomos esféricos e densamente compactados, achar a distância entre os centros de dois átomos vizinhos em jardas.
Observação importante (informação que vamos usar): quando se diz “átomos densamente compactados” vamos assumir o empacotamento compacto (empacotamento mais denso de esferas), cujo fator de empacotamento é
\eta = \frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0,74048.

Passo 2

Primeiro convém colocar a densidade em unidades SI ( \mathrm{kg/m^{3}}). Sabemos que 1\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Então:
\rho = 2,33\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 2,33\times 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} = 2330\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
O volume por átomo (volume alocado a cada átomo, incluindo espaços vazios) é simplesmente massa do átomo dividida pela densidade do material:
V_{\text{átomo}} = \frac{m}{\rho}.á
Agora calculamos:
V_{\text{átomo}} = \frac{4,66\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}}{2330\\ \mathrm{kg/m^{3}}}.á
Dividindo: 4,66/2,33 = 2,0 e o expoente fica 10^{-26}/10^{3}=10^{-29}. Portanto
V_{\text{átomo}} = 2,0\times10^{-29}\\ \mathrm{m^{3}}.á

Passo 3

Para achar a distância entre centros precisamos relacionar esse volume por átomo com o raio efetivo das esferas que representam os átomos.
Explicação do conceito: se as esferas estão empacotadas de forma mais densa (empacotamento compacto), nem todo o volume por átomo é ocupado pela esfera real — a fração do volume ocupado pelas esferas é \eta. Logo o volume da própria esfera (átomo) é
V_{\text{esfera}} = \eta \, V_{\text{átomo}}.á
Substituindo números (vamos manter 3 algarismos significativos):
V_{\text{esfera}} = 0,74048 \times 2,0\times10^{-29}\\ \mathrm{m^{3}} \approx 1,481\times10^{-29}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 4

Agora usamos a fórmula do volume de uma esfera para obter o raio r:
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^{3}.
Isolando r:
r = \left(\frac{3\,V_{\text{esfera}}}{4\pi}\right)^{1/3}.
Substituindo V_{\text{esfera}}:
r = \left(\frac{3\times 1,481\times10^{-29}}{4\pi}\right)^{1/3}.
Fazendo as contas em partes: primeiro o fator multiplicativo
\frac{3}{4\pi}\approx 0,238732.
Multiplicando por 1,481\times10^{-29}:
0,238732\times 1,481\times10^{-29}\approx 3,536\times10^{-30}.
Agora a raiz cúbica:
r \approx (3,536\times10^{-30})^{1/3}.
A raiz cúbica de 3,536 é aproximadamente 1,52 e a raiz cúbica de 10^{-30} é 10^{-10}. Assim
r \approx 1,52\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

A distância entre os centros de átomos vizinhos no empacotamento (distância mais curta entre centros) é simplesmente o diâmetro da esfera:
d = 2r \approx 2\times 1,52\times10^{-10}\\ \mathrm{m} = 3,04\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Agora convertemos para jardas usando 1\\ \mathrm{yd}=0,9144\\ \mathrm{m}:
d_{\text{yd}} = \frac{d}{0,9144} = \frac{3,04\times10^{-10}}{0,9144}\\ \mathrm{yd} \approx 3,33\times10^{-10}\\ \mathrm{yd}.

Resposta

(a) 2,0\times10^{-29}\\ \mathrm{m^{3}}
(b) 3,33\times10^{-10}\\ \mathrm{yd}

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