Exercício 5: A serie de Pfund resulta da emissão/absorção de fótons em transições do elétron no hidrogênio de (ou para) níveis mais altos para (ou do) nível
. Quais são os comprimentos de onda mais curtos e mais longo dos fótons emitidos que correspondem à serie de Pfund? Algum deles é visível?
Passo 1
O enunciado pede: quais são os comprimentos de onda mais curto e mais longo dos fótons emitidos na série de Pfund (transições que terminam em
) e se algum desses fótons é visível.
Informações relevantes dadas/implícitas:
Informações relevantes dadas/implícitas:
- Série de Pfund = transições elétron
com e . - Precisamos identificar o comprimento de onda mais curto (maior energia) e o mais longo (menor energia) entre essas transições.
- Vamos usar valores numéricos necessários para cálculo: constante de Rydberg para o hidrogênio
(valor padrão experimental). - Intervalo de luz visível aproximado para comparar:
a .
Passo 2
Apresento a fórmula que relaciona comprimentos de onda das linhas espectrais do hidrogênio (fórmula de Rydberg). Essa é a fórmula que usamos para séries com final fixo
e inicial
:
Explicação das variáveis (bem mastigado):
-
é o comprimento de onda do fóton emitido (em metros). -
é a constante de Rydberg para o hidrogênio, aqui . Essa constante vem da diferença entre níveis de energia do átomo de hidrogênio dividida por . -
é o número quântico do nível final (na série de Pfund, ). -
é o número quântico do nível inicial, inteiro e maior que (ou seja ).
Também vale a relação energia–comprimento de onda: a energia do fóton é. Portanto, maior energia → menor ; menor energia → maior .
Passo 3
Determinar o comprimento de onda mais curto: isso corresponde ao fóton de maior energia, que ocorre quando a diferença entre os termos
é máxima. Para
fixo, o máximo dessa diferença acontece quando
(pois
). Então:
Isolando
:
Agora calculamos numericamente usando
:
Faço a divisão passo a passo: primeiro
e depois ajustar a potência de dez dá
. Convertendo para unidades mais usuais:
(Fica claro que este comprimento de onda está no infravermelho próximo / médio, muito maior que o intervalo visível.)
Passo 4
Determinar o comprimento de onda mais longo: isso corresponde ao fóton de menor energia possível dentro da série, ou seja, à menor diferença positiva entre
e
para
. A função
é crescente com
(porque
decresce quando
aumenta), então o menor valor positivo de
ocorre para o menor
permitido, que é
. Logo o maior comprimento de onda é para a transição
. Usamos a fórmula com
:
Faço a diferença das frações:
Portanto
Agora o cálculo numérico com
:
Faço a conta:
, depois
e ajustando potência dá
. Convertendo:
Passo 5
Comparação com o visível e interpretação final:
- Intervalo visível aproximado:
a . - Valores encontrados:
e . Ambos são muito maiores que , portanto estão no infravermelho (em particular na faixa de alguns micrômetros). Conclusão: nenhum dos comprimentos de onda da série de Pfund é visível.
Passo 6
Como extra didático rápido (para entender a ordem de energia): posso calcular as energias desses fótons usando
. Uma forma prática é usar
. Então:
São energias muito pequenas comparadas à energia de fótons visíveis (por exemplo
é ≈
), confirmando que estamos no infravermelho.
Resposta
Comprimento de onda mais curto:
Comprimento de onda mais longo:
Algum visível?: Não. Ambos os comprimentos de onda estão no infravermelho e estão muito além da faixa visível ( –
).
Comprimento de onda mais longo:
Algum visível?: Não. Ambos os comprimentos de onda estão no infravermelho e estão muito além da faixa visível (