Exercício 5: A serie de Pfund resulta da emissão/absorção de fótons em transições do elétron no hidrogênio de (ou para) níveis mais altos para (ou do) nível \mathrm{n}=5. Quais são os comprimentos de onda mais curtos e mais longo dos fótons emitidos que correspondem à serie de Pfund? Algum deles é visível?

Passo 1

O enunciado pede: quais são os comprimentos de onda mais curto e mais longo dos fótons emitidos na série de Pfund (transições que terminam em n=5) e se algum desses fótons é visível.
Informações relevantes dadas/implícitas:
  • Série de Pfund = transições elétron n_i\to n_f com n_f=5 e n_i>5.
  • Precisamos identificar o comprimento de onda mais curto (maior energia) e o mais longo (menor energia) entre essas transições.
  • Vamos usar valores numéricos necessários para cálculo: constante de Rydberg para o hidrogênio R=1,0967758\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}} (valor padrão experimental).
  • Intervalo de luz visível aproximado para comparar: 380\\ \mathrm{nm} a 750\\ \mathrm{nm}.

Passo 2

Apresento a fórmula que relaciona comprimentos de onda das linhas espectrais do hidrogênio (fórmula de Rydberg). Essa é a fórmula que usamos para séries com final fixo n_f e inicial n_i>n_f:
\frac{1}{\lambda}=R\!\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\right).
Explicação das variáveis (bem mastigado):
  • \lambda é o comprimento de onda do fóton emitido (em metros).
  • R é a constante de Rydberg para o hidrogênio, aqui R=1,0967758\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}. Essa constante vem da diferença entre níveis de energia do átomo de hidrogênio dividida por hc.
  • n_f é o número quântico do nível final (na série de Pfund, n_f=5).
  • n_i é o número quântico do nível inicial, inteiro e maior que n_f (ou seja n_i=6,7,8,\dots,\infty).
    Também vale a relação energia–comprimento de onda: a energia do fóton é E=hc/\lambda. Portanto, maior energia E → menor \lambda; menor energia → maior \lambda.

Passo 3

Determinar o comprimento de onda mais curto: isso corresponde ao fóton de maior energia, que ocorre quando a diferença entre os termos \frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}} é máxima. Para n_f fixo, o máximo dessa diferença acontece quando n_i\to\infty (pois \frac{1}{n_i^{2}}\to0). Então:
\frac{1}{\lambda_{\min}}=R\left(\frac{1}{5^{2}}-0\right)=R\cdot\frac{1}{25}.
Isolando \lambda_{\min}:
\lambda_{\min}=\frac{25}{R}.
Agora calculamos numericamente usando R=1,0967758\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}:
\lambda_{\min}=\frac{25}{1,0967758\times10^{7}}.
Faço a divisão passo a passo: primeiro 25/1,0967758\approx22,786 e depois ajustar a potência de dez dá \lambda_{\min}\approx2,279\times10^{-6}\\ \mathrm{m}. Convertendo para unidades mais usuais:
\lambda_{\min}\approx2,279\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=2279\\ \mathrm{nm}=2,279\\ \mu\mathrm{m}.
(Fica claro que este comprimento de onda está no infravermelho próximo / médio, muito maior que o intervalo visível.)

Passo 4

Determinar o comprimento de onda mais longo: isso corresponde ao fóton de menor energia possível dentro da série, ou seja, à menor diferença positiva entre \frac{1}{5^{2}} e \frac{1}{n_i^{2}} para n_i>5. A função f(n_i)=\frac{1}{5^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}} é crescente com n_i (porque \frac{1}{n_i^{2}} decresce quando n_i aumenta), então o menor valor positivo de f ocorre para o menor n_i permitido, que é n_i=6. Logo o maior comprimento de onda é para a transição 6\to5. Usamos a fórmula com n_i=6:
\frac{1}{\lambda_{\max}}=R\left(\frac{1}{5^{2}}-\frac{1}{6^{2}}\right)=R\left(\frac{1}{25}-\frac{1}{36}\right).
Faço a diferença das frações:
\frac{1}{25}-\frac{1}{36}=\frac{36-25}{900}=\frac{11}{900}.
Portanto
\frac{1}{\lambda_{\max}}=R\cdot\frac{11}{900}\quad\Rightarrow\quad \lambda_{\max}=\frac{900}{11R}.
Agora o cálculo numérico com R=1,0967758\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}:
\lambda_{\max}=\frac{900}{11\cdot1,0967758\times10^{7}}.
Faço a conta: 900/11\approx81,81818, depois 81,81818/1,0967758\approx74,616 e ajustando potência dá \lambda_{\max}\approx7,462\times10^{-6}\\ \mathrm{m}. Convertendo:
\lambda_{\max}\approx7,462\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=7462\\ \mathrm{nm}=7,462\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 5

Comparação com o visível e interpretação final:
  • Intervalo visível aproximado: 380\\ \mathrm{nm} a 750\\ \mathrm{nm}.
  • Valores encontrados: \lambda_{\min}\approx2279\\ \mathrm{nm} e \lambda_{\max}\approx7462\\ \mathrm{nm}. Ambos são muito maiores que 750\\ \mathrm{nm}, portanto estão no infravermelho (em particular na faixa de alguns micrômetros). Conclusão: nenhum dos comprimentos de onda da série de Pfund é visível.

Passo 6

Como extra didático rápido (para entender a ordem de energia): posso calcular as energias desses fótons usando E=\dfrac{hc}{\lambda}. Uma forma prática é usar hc\approx1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}. Então:
E_{\min}=\frac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{2279\\ \mathrm{nm}}\approx0,544\\ \mathrm{eV},
E_{\max}=\frac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{7462\\ \mathrm{nm}}\approx0,166\\ \mathrm{eV}.
São energias muito pequenas comparadas à energia de fótons visíveis (por exemplo 1,65\\ \mathrm{eV} é ≈ 750\\ \mathrm{nm}), confirmando que estamos no infravermelho.

Resposta

Comprimento de onda mais curto: \lambda_{\min}\approx2,279\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=2279\\ \mathrm{nm}=2,279\\ \mu\mathrm{m}
Comprimento de onda mais longo: \lambda_{\max}\approx7,462\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=7462\\ \mathrm{nm}=7,462\\ \mu\mathrm{m}
Algum visível?: Não. Ambos os comprimentos de onda estão no infravermelho e estão muito além da faixa visível ( 380 750\\ \mathrm{nm}).

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