Exercício 4. Óleo com \rho=900 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e viscosidade cinemática de 0,00001 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} escoa a 0,2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} através de um tubo de ferro fundido de 500 m de comprimento e 200 mm de diâmetro. Determine a perda de carga distribuída.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Vazão volumétrica: \,Q=0{,}2\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Densidade do óleo: \,\rho=900\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Viscosidade cinemática: \,\nu=0{,}00001\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Tubo de ferro fundido com comprimento \,L=500\\ \mathrm{m} e diâmetro \,D=200\\ \mathrm{mm}=0{,}2\\ \mathrm{m}.
O que é pedido:
  • Determinar a perda de carga distribuída (ou seja, a perda de carga por atrito ao longo do comprimento do tubo).

Passo 2

Primeiro calculamos a velocidade média do fluido no tubo a partir da vazão. Fórmulas e significado:
  • Área da seção transversal do tubo: A=\frac{\pi D^{2}}{4},
onde A é a área ( \mathrm{m^{2}}) e D o diâmetro ( \mathrm{m}).
  • Velocidade média: V=\frac{Q}{A},
onde V é a velocidade média ( \mathrm{m/s}) e Q a vazão ( \mathrm{m^{3}/s}).
Cálculo numérico:
A=\frac{\pi (0{,}2)^{2}}{4}=\pi\cdot0{,}01=0{,}0314159\\ \mathrm{m^{2}},
V=\frac{0{,}2}{0{,}0314159}=6{,}3661977\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação curta: V é a velocidade média do óleo no tubo — é essa velocidade que aparece nas fórmulas de perda de carga.

Passo 3

Agora verificamos o regime de escoamento usando o número de Reynolds. Fórmula e significado:
  • Número de Reynolds: \mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu},
onde \mathrm{Re} é adimensional, V é a velocidade média ( \mathrm{m/s}), D o diâmetro ( \mathrm{m}) e \nu a viscosidade cinemática ( \mathrm{m^{2}/s}). Valores de referência: escoamento laminar para \mathrm{Re}\lesssim2000, de transição entre \sim2000 e \sim4000, turbulento para \mathrm{Re}\gtrsim4000.
Cálculo numérico:
\mathrm{Re}=\frac{6{,}3661977\cdot 0{,}2}{0{,}00001}=127323{,}95\approx1{,}273\times10^{5}.
Conclusão: o escoamento é turbulento (pois \mathrm{Re}\gg4000). Portanto a perda de carga deve ser calculada com uma fórmula para regime turbulento (fator de atrito de Darcy-Weisbach).

Passo 4

Escolher o método para obter o fator de atrito f. Explicação:
  • A perda de carga por atrito na tubulação, em altura de coluna de fluido, é dada pela fórmula de Darcy-Weisbach:
h_{f}=f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g},
onde h_{f} é a perda de carga ( \mathrm{m}), f o fator de atrito de Darcy (adimensional), L o comprimento, D o diâmetro, V a velocidade média e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}} a gravidade.
  • Para escoamento turbulento em tubos rugosos, f depende de \mathrm{Re} e da rugosidade relativa \epsilon/D. A equação de Colebrook é implícita; usaremos a fórmula explícita de Swamee–Jain (bom compromisso entre precisão e facilidade manual):
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\left(\dfrac{\epsilon}{3{,}7D}+\dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}.
  • Precisamos de \epsilon (rugosidade absoluta) do ferro fundido. Vou usar um valor típico para ferro fundido: \epsilon=0{,}26\\ \mathrm{mm}=2{,}6\times10^{-4}\\ \mathrm{m}. (Nota: este é um valor de tabela típico para ferro fundido antigo; se o seu problema der outro valor, substituir por ele.)

Passo 5

Calcular a rugosidade relativa e aplicar Swamee–Jain passo a passo.
  • Rugosidade relativa:
\frac{\epsilon}{D}=\frac{2{,}6\times10^{-4}}{0{,}2}=0{,}0013.
  • Calcule os termos dentro do logaritmo da fórmula de Swamee–Jain:
\frac{\epsilon}{3{,}7D}=\frac{2{,}6\times10^{-4}}{3{,}7\cdot0{,}2}=0{,}000351351\ldots,
\mathrm{Re}^{0{,}9}=(1{,}273\times10^{5})^{0{,}9}\approx3{,}9284\times10^{4},
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx \frac{5{,}74}{3{,}9284\times10^{4}}=0{,}000146165\ldots.
  • Soma dos termos:
\frac{\epsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx 0{,}000351351+0{,}000146165=0{,}000497516.
  • Logaritmo e fator f:
\log_{10}\left(0{,}000497516\right)=-3{,}303698\ldots,
\left[\log_{10}(\cdot)\right]^{2}=10{,}9235\ldots,
f=\frac{0{,}25}{10{,}9235}=0{,}0228809\approx0{,}02288.
Interpretação: f\approx0{,}0229 é um valor típico para escoamento turbulento em tubo relativamente rugoso e este Reynolds.

Passo 6

Calcular a perda de carga h_{f} usando Darcy–Weisbach e explicando cada termo:
  • Relembrando a fórmula:
h_{f}=f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g}.
  • Calcular cada parte:
\frac{L}{D}=\frac{500}{0{,}2}=2500,
\frac{V^{2}}{2g}=\frac{(6{,}3661977)^{2}}{2\cdot9{,}81}=\frac{40{,}529}{19{,}62}=2{,}066151\\ \mathrm{m}.
  • Agora h_{f}:
h_{f}=0{,}0228809\cdot2500\cdot2{,}066151=118{,}235\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a perda de carga distribuída ao longo dos 500\\ \mathrm{m} do tubo é cerca de 118{,}2\\ \mathrm{m} de coluna de óleo — ou seja, para vencer o atrito é necessária uma carga equivalente a aproximadamente 118{,}2\\ \mathrm{m} de fluido.

Passo 7

(Cálculo auxiliar útil) Converter perda de carga em queda de pressão, se for desejado:
  • Queda de pressão total \Delta p relacionada por \Delta p=\rho g h_{f}. Aqui \rho é densidade ( \mathrm{kg/m^{3}}), g aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^{2}}) e h_{f} em \mathrm{m}.
Cálculo:
\Delta p=900\cdot9{,}81\cdot118{,}235\approx1{,}043{,}854\\ \times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\approx1{,}04\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

h_{f}=118{,}2\\ \mathrm{m}
\Delta p=\rho g h_{f}\approx1{,}04\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}

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