Uma bomba hidráulica está localizada entre dois reservatórios. Os níveis d’água nos reservatórios (níveis superiores de água) estão na mesma cota ( z_{1}=z_{2} ); o de aspiração está à pressão atmosférica e o de recalque está pressurizado a 600 kPa (relativa). A pressão na entrada da bomba (ponto E) é -23.560 Pa (portanto, vácuo) e a área da seção transversal na entrada da bomba é 75 \mathrm{~cm}^{2}. As perdas de energia são \underset{1 \rightarrow E}{\operatorname{Perdas}}=1,2 \mathrm{mH}_{2} \mathrm{O}, \underset{E \rightarrow S}{\operatorname{Perdas}}=302 \mathrm{J} / \mathrm{kg} e \underset{\mathrm{S} \rightarrow 2}{\operatorname{Perdas}}=8,8 \mathrm{mH}_{2} \mathrm{O}. Dados: \rho=\rho_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}=998,2 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} e \mathrm{g}=9,785 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Pede-se: (a) o valor da potência de eixo da bomba, em kW, para uma vazão de 15 \ell / \mathrm{s}, (b) a distância h_{L C} \cong h s (altura geométrica de sucção da bomba - assunto que será abordado em EME803), em m, que deve estar posicionada a bomba em relação ao nível d’água (nível superior de água) do reservatório de aspiração. (c) com base no valor de hs, faça um esquema simplificado da instalação de bombeamento.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e nos dá vários dados. Vou organizar tudo claramente para não nos perdermos.
Perguntas:
  • (a) Calcular a potência de eixo da bomba, em kW, para uma vazão de 15\\ \mathrm{L/s}.
  • (b) Calcular a distância h_{LC}\cong h_s (altura geométrica de sucção) que a bomba deve estar posicionada em relação ao nível d’água do reservatório de aspiração.
  • (c) Fazer um esquema simplificado da instalação de bombeamento (descricao esquemática).
Dados fornecidos (vou listar exatamente como aparecem; tudo numérico será em TeX):
  • Níveis superiores de água: \,z_{1}=z_{2}.
  • Reservatório de aspiração: pressão atmosférica (vou tomar p_1=0 como pressão de referência gauge).
  • Reservatório de recalque: pressão relativa \,p_{2}=600\\ \mathrm{kPa}=600\,000\\ \mathrm{Pa} (gauge).
  • Pressão no ponto de entrada da bomba (ponto E): \,p_{E}=-23\,560\\ \mathrm{Pa} (vácuo relativo).
  • Área da seção na entrada da bomba: \,A_E=75\\ \mathrm{cm}^2 = 0,0075\\ \mathrm{m}^2.
  • Vazão: \,Q=15\\ \mathrm{L/s}=0,015\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Perdas de energia:
    • \displaystyle \underset{1\rightarrow E}{\text{Perdas}}=1,2\\ \mathrm{mH_2O} (sucção externa).
    • \displaystyle \underset{E\rightarrow S}{\text{Perdas}}=302\\ \mathrm{J/kg}.
    • \displaystyle \underset{S\rightarrow 2}{\text{Perdas}}=8,8\\ \mathrm{mH_2O} (recalque externo).
  • Propriedades do fluido: \rho=\rho_{\mathrm{H_2O}}=998,2\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9,785\\ \mathrm{m/s^2}.
Observações importantes (do enunciado): z_1=z_2 facilita porque a diferença de cota é zero. O enunciado fornece perdas em metros de coluna de água (mH2O) e em \mathrm{J/kg}; eu vou converter tudo para uma única unidade conveniente (metros de carga hidráulica ou, quando for necessário, J/kg) antes de somar. Não há imagem faltando — todos os dados necessários estão listados.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (aula rápida, sem pular etapas):
Para bombas em escoamento estacionário podemos usar a forma do balanço de energia (Bernoulli estendido) entre dois pontos do sistema e inserir a contribuição da bomba como uma elevação de energia por unidade de peso (carga de bomba H_p, em metros). Uma forma prática de obter a carga que a bomba deve fornecer é:
H_p = \frac{p_2-p_1}{\rho g} + (z_2-z_1) + \sum h_{\text{perdas}}
onde
  • \,H_p é a carga que a bomba deve fornecer, em metros de fluido;
  • \,p_2-p_1 é a diferença de pressão entre os pontos escolhidos (aqui, entre as superfícies livres ou pontos de referência nos reservatórios);
  • \rho é a densidade do fluido e g a gravidade;
  • \sum h_{\text{perdas}} é a soma de todas as perdas distribuídas no trajeto (em metros).
Depois, a potência de eixo (potência hidráulica) exigida é
P = \rho g Q H_p,
com P em watts se \rho em \mathrm{kg/m^3}, g em \mathrm{m/s^2}, Q em \mathrm{m^3/s} e H_p em metros.
Vou aplicar isso passo a passo, convertendo as perdas em unidades compatíveis.

Passo 3

Conversões e cálculo da contribuição de pressão (termo (p_2-p_1)/(\rho g)):
  • \,p_2=600\,000\\ \mathrm{Pa} (gauge) e \,p_1=0\\ \mathrm{Pa} (superfície aberta, referência gauge).
  • Produto \rho g: \rho g = 998{,}2 \times 9{,}785 = 9{\,}767{,}387\\ \mathrm{N/m^3}.
  • Termo de pressão transformado em metros de coluna: \frac{p_2-p_1}{\rho g}=\frac{600\,000}{9{\,}767{,}387}\approx 61{,}45\\ \mathrm{m}.
Explicação didática: dividir \mathrm{Pa} por \rho g dá metros porque \mathrm{Pa}=\mathrm{N/m^2} e \rho g tem dimensão \mathrm{N/m^3}; o quociente é metros (carga hidráulica).

Passo 4

Converter as perdas para metros (todas em metros de carga):
  • Perdas \,1\rightarrow E=1{,}2\\ \mathrm{mH_2O} já está em metros: h_{1E}=1{,}2\\ \mathrm{m}.
  • Perdas \,S\rightarrow 2=8{,}8\\ \mathrm{mH_2O} já em metros: h_{S2}=8{,}8\\ \mathrm{m}.
  • Perdas \,E\rightarrow S=302\\ \mathrm{J/kg}. Para converter energia específica (J/kg) para metros de coluna usa-se a relação 1\\ \mathrm{m} \Leftrightarrow g\\ \mathrm{m} = g\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s^2} ou, de forma prática, h_{ES}=\frac{\text{(J/kg)}}{g}=\frac{302}{9{,}785}\\ \mathrm{m}\approx 30{,}86\\ \mathrm{m}.
Comentário: 1\\ \mathrm{J/kg} equivale a 1\\ \mathrm{m^2/s^2}; dividindo por g obtemos metros.
Agora somamos todas as perdas:
\sum h_{\text{perdas}} = h_{1E}+h_{ES}+h_{S2}=1{,}2 + 30{,}86 + 8{,}8 = 40{,}86\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a carga total que a bomba precisa fornecer:
Usando z_2-z_1=0 (dados) e o termo de pressão calculado:
H_p = \frac{p_2-p_1}{\rho g} + (z_2-z_1) + \sum h_{\text{perdas}} = 61{,}45 + 0 + 40{,}86 = 102{,}31\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a bomba tem de fornecer cerca de 102{,}31\\ \mathrm{m} de carga hidráulica para vencer a diferença de pressão e todas as perdas do sistema.

Passo 6

Calcular a potência de eixo P:
Usamos P=\rho g Q H_p. Substituindo:
\rho g = 9{\,}767{,}387\\ \mathrm{N/m^3},\qquad Q=0{,}015\\ \mathrm{m^3/s},\qquad H_p=102{,}31\\ \mathrm{m}.
Cálculo passo a passo:
P = 9{\,}767{,}387 \times 0{,}015 \times 102{,}31.
Primeiro 9{\,}767{,}387\times 0{,}015 = 146{,}5108.
Depois 146{,}5108\times 102{,}31 \approx 14{\,}989{,}8\\ \mathrm{W}.
Convertendo para kW:
P \approx 14{,}99\\ \mathrm{kW}\\ (\text{ou arredondando }15{,}0\\ \mathrm{kW}).
Didática: essa potência é a potência hidráulica transmitida ao fluido na saída do eixo. Se quisermos a potência elétrica consumida, deveríamos dividir por a eficiência da bomba (não fornecida aqui).

Passo 7

Agora calculamos a altura geométrica de sucção h_{LC}\cong h_s. Aqui vamos relacionar a pressão medida no ponto E com a elevação relativa entre a superfície do reservatório e o ponto E.
Usamos Bernoulli entre a superfície do reservatório de aspiração (ponto 1) e o ponto E:
\frac{p_1}{\rho g} + z_1 + 0 = \frac{p_E}{\rho g} + z_E + \frac{v_E^2}{2g} + h_{1E}.
Isolando a diferença de elevação z_E - z_1 (isto é, a distância vertical entre a superfície e o ponto E; se z_E>z_1 o ponto E está acima do nível livre):
z_E - z_1 = \frac{p_1-p_E}{\rho g} - \frac{v_E^2}{2g} - h_{1E}.
Aqui z_E-z_1 é a distância vertical da superfície até o ponto E. Essa distância é o que o enunciado chama de altura geométrica de sucção h_s (a forma como h_s é definida varia, mas nesta montagem estamos a calcular a distância vertical entre o nível d’água e a entrada da bomba).
Calcular os termos:
  • \displaystyle \frac{p_1-p_E}{\rho g}=\frac{0-(-23{,}560)}{9{,}767{,}387}\approx \frac{23{,}560}{9{,}767{,}387}\approx 2{,}412\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade no ponto E: v_E=\frac{Q}{A_E}=\frac{0{,}015}{0{,}0075}=2{,}0\\ \mathrm{m/s}.Logo a cabeça cinética: \frac{v_E^2}{2g}=\frac{(2{,}0)^2}{2\times 9{,}785}=\frac{4}{19{,}57}\approx 0{,}2046\\ \mathrm{m}.
  • Perda h_{1E}=1{,}2\\ \mathrm{m} (dado).
Agora substituímos na expressão de z_E-z_1:
z_E - z_1 = 2{,}412 - 0{,}2046 - 1{,}2 = 1{,}0074\\ \mathrm{m}.
Arredondando: z_E - z_1 \approx 1{,}01\\ \mathrm{m}.
Interpretação física: o ponto de entrada da bomba (ponto E) está aproximadamente 1{,}01\\ \mathrm{m} acima do nível livre do reservatório de aspiração para que a pressão ali seja -23{,}560\\ \mathrm{Pa} dadas as perdas e velocidade. Em termos práticos, isso significa que, para as condições de vazão e perdas informadas, a bomba (entrada) não pode estar muito acima do nível do reservatório — aqui o valor é cerca de 1{,}01\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Esquema simplificado da instalação (descrição passo a passo para desenhar mentalmente ou em papel):
  • Reservatório de aspiração (Reservatório 1): superfície livre à pressão atmosférica p_1.
  • Tubulação de sucção saindo do reservatório com perdas \,h_{1E}=1{,}2\\ \mathrm{m}.
  • Ponto E: entrada da bomba — p_E=-23{,}560\\ \mathrm{Pa}, área A_E=75\\ \mathrm{cm^2}, velocidade v_E=2{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Bomba (entre E e S): fornece carga H_p\approx 102{,}31\\ \mathrm{m}. Entre E e S há a perda interna informada 302\\ \mathrm{J/kg} (que converti para 30{,}86\\ \mathrm{m} de carga).
  • Tubulação de recalque saindo da bomba com perdas \,h_{S2}=8{,}8\\ \mathrm{m}.
  • Reservatório de recalque (Reservatório 2): superfície a pressão relativa \,p_2=600\\ \mathrm{kPa}.
  • Notas: a vazão é \,Q=0{,}015\\ \mathrm{m^3/s} e a potência de eixo necessária é \approx 15{,}0\\ \mathrm{kW}. A entrada da bomba deve estar localizada a aproximadamente 1{,}01\\ \mathrm{m} acima do nível do reservatório de aspiração (conforme cálculo do passo anterior).

Resposta

(a) 15{,}0\\ \mathrm{kW}
(b) 1{,}01\\ \mathrm{m}
(c) Reservatório 1 (nível z_1, p_1= atm) \rightarrow tubulação de sucção (perda 1{,}2\\ \mathrm{mH_2O}) \rightarrow ponto E (entrada: p_E=-23{,}560\\ \mathrm{Pa}, A_E=75\\ \mathrm{cm^2}, v_E=2{,}0\\ \mathrm{m/s}) \rightarrow bomba (ganho total H_p\approx 102{,}31\\ \mathrm{m}; perda interna 302\\ \mathrm{J/kg}) \rightarrow tubulação de recalque (perda 8{,}8\\ \mathrm{mH_2O}) \rightarrow Reservatório 2 ( p_2=600\\ \mathrm{kPa}).

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