Exercício 3.4 (Olimpíadas Internacionais de Matemática, 1986, questão 5). (**) Encontre (caso existam) todas as funções sobrejetivas que levam os números reais não-negativos em si próprios e tais que:
(a)
para todos os
;
(b)
;
(c)
para todo
.
(Sugestão: a primeira condição envolve produtos de valores da função, e as restantes condições falam de a função tomar (ou não tomar) o valor
que é que se pode afirmar quando um produto é zero?)
(a)
(b)
(c)
(Sugestão: a primeira condição envolve produtos de valores da função, e as restantes condições falam de a função tomar (ou não tomar) o valor
Passo 1
O enunciado pede para encontrar (se existirem) todas as funções sobrejetivas
tais que, para todos
,
e que satisfazem ainda
e
Lista das informações relevantes dadas:
- Domínio e contradomínio:
. - Equação funcional:
válida para todo . - Um valor conhecido:
. - Não há zeros antes de
: para . - Queremos somente funções sobrejetivas (isto é, todo
aparece como para algum ).
Passo 2
Observação básica sobre produtos: se
em
, então
ou
. Aplicando isso à equação funcional, fixe um
tal que
. Para esse
temos, para todo
,
Portanto, se existe
com
, então
é zero em todo o intervalo
.
Passo 3
Usando o fato anterior com a informação
, concluímos que
Em particular, todos os argumentos maiores ou iguais a
são enviados para
.
Passo 4
Vamos usar a equação funcional com
. Para todo
,
Escolha um
com
. Pela condição (c),
, então podemos dividir por
para obter
. Assim:
Passo 5
Agora pegue um
arbitrário com
. (Pelo enunciado tais
têm
.) Coloque
na equação funcional; note que
pois
. Temos
Como
, o produto só pode ser zero se
Passo 6
Do passo 3 sabemos que
implica
. Aplicando isso ao
obtido no passo anterior, segue
Dessa desigualdade podemos isolar
e obter, para todo
,
Passo 7
A desigualdade do passo anterior tem consequências claras para a imagem de
sobre
. Para qualquer
a fração
é maior ou igual a
(com igualdade apenas em
). Logo
Combinando com o passo 3 (que diz
para
), concluímos que a imagem de
está contida em
Passo 8
A condição de sobrejetividade exige que a imagem de
seja todo
. Mas do passo 7 vimos que nenhum valor do intervalo
pode aparecer como valor de
: a imagem de
não contém valores em
. Isso contraria a exigência de sobrejetividade sobre
.
Passo 9
Portanto, não existe nenhuma função
que seja sobrejetiva e satisfaça simultaneamente as três condições (a), (b) e (c) do enunciado.
Resposta
Não existe nenhuma função sobrejetiva
que satisfaça (a), (b) e (c).