Exercício 3.4 (Olimpíadas Internacionais de Matemática, 1986, questão 5). (**) Encontre (caso existam) todas as funções sobrejetivas que levam os números reais não-negativos em si próprios e tais que:
(a) f(x f(y)) f(y)=f(x+y) para todos os x, y \geq 0;
(b) f(2)=0;
(c) f(x) \neq 0 para todo 00 \leq x<2.
(Sugestão: a primeira condição envolve produtos de valores da função, e as restantes condições falam de a função tomar (ou não tomar) o valor 0 . \mathrm{O} que é que se pode afirmar quando um produto é zero?)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar (se existirem) todas as funções sobrejetivas f:[0,\infty)\to[0,\infty) tais que, para todos x,y\ge0,
f\big(x f(y)\big)\,f(y)=f(x+y),
e que satisfazem ainda
f(2)=0
e
f(x)\neq 0\quad\text{para todo }0\le x<2.
Lista das informações relevantes dadas:
  • Domínio e contradomínio: f:[0,\infty)\to[0,\infty).
  • Equação funcional: \;f(x f(y))f(y)=f(x+y)\; válida para todo x,y\ge0.
  • Um valor conhecido: f(2)=0.
  • Não há zeros antes de 2: f(x)\neq0 para 0\le x<2.
  • Queremos somente funções sobrejetivas (isto é, todo t\ge0 aparece como f(u) para algum u\ge0).

Passo 2

Observação básica sobre produtos: se ab=0 em [0,\infty), então a=0 ou b=0. Aplicando isso à equação funcional, fixe um y tal que f(y)=0. Para esse y temos, para todo x\ge0,
f(x+y)=f\big(x f(y)\big)f(y)=f(\cdot)\cdot 0=0.
Portanto, se existe y com f(y)=0, então f é zero em todo o intervalo [y,\infty).

Passo 3

Usando o fato anterior com a informação f(2)=0, concluímos que
f(x)=0\quad\text{para todo }x\ge2.
Em particular, todos os argumentos maiores ou iguais a 2 são enviados para 0.

Passo 4

Vamos usar a equação funcional com x=0. Para todo y\ge0,
f(0\cdot f(y))f(y)=f(0+y)\quad\Longrightarrow\quad f(0)f(y)=f(y).
Escolha um y com 0\le y<2. Pela condição (c), f(y)\neq0, então podemos dividir por f(y) para obter f(0)=1. Assim:
f(0)=1.

Passo 5

Agora pegue um y arbitrário com 0\le y<2. (Pelo enunciado tais y têm f(y)>0.) Coloque x=2-y na equação funcional; note que x\ge0 pois y\le2. Temos
f\big((2-y)f(y)\big)f(y)=f(2)=0.
Como f(y)\neq0, o produto só pode ser zero se
f\big((2-y)f(y)\big)=0.

Passo 6

Do passo 3 sabemos que f(t)=0 implica t\ge2. Aplicando isso ao t=(2-y)f(y) obtido no passo anterior, segue
(2-y)f(y)\ge 2.
Dessa desigualdade podemos isolar f(y) e obter, para todo 0\le y<2,
f(y)\ge \frac{2}{2-y}.

Passo 7

A desigualdade do passo anterior tem consequências claras para a imagem de f sobre [0,2). Para qualquer y\in[0,2) a fração \dfrac{2}{2-y} é maior ou igual a 1 (com igualdade apenas em y=0). Logo
f(y)\ge 1\quad\text{para todo }0\le y<2.
Combinando com o passo 3 (que diz f(x)=0 para x\ge2), concluímos que a imagem de f está contida em
\{0\}\cup[1,\infty).

Passo 8

A condição de sobrejetividade exige que a imagem de f seja todo [0,\infty). Mas do passo 7 vimos que nenhum valor do intervalo (0,1) pode aparecer como valor de f: a imagem de f não contém valores em (0,1). Isso contraria a exigência de sobrejetividade sobre [0,\infty).

Passo 9

Portanto, não existe nenhuma função f:[0,\infty)\to[0,\infty) que seja sobrejetiva e satisfaça simultaneamente as três condições (a), (b) e (c) do enunciado.

Resposta

Não existe nenhuma função sobrejetiva f:[0,\infty)\to[0,\infty) que satisfaça (a), (b) e (c).

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