Mostre que
é uma solução para
para qualquer escolha da constante
. Assim,
é uma família de soluções com um parâmetro para a equação diferencial. Represente em gráfico várias das curvas de solução usando os mesmos eixos de coordenadas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) mostrar que
é uma solução da equação diferencial
para qualquer constante
; (2) representar graficamente várias curvas dessa família de soluções usando os mesmos eixos.
Informações dadas: a função candidata é com
constante arbitrária, e a equação diferencial é
.
Não vou resolver nada aqui ainda — só organizei o que é pedido e os dados que temos.
Informações dadas: a função candidata é
Não vou resolver nada aqui ainda — só organizei o que é pedido e os dados que temos.
Passo 2
Vamos calcular a derivada de
. Lembre que a derivada de
é
porque, por regra da cadeia,
e aqui
tem
. Como
é constante, temos:
Expliquei cada passo: derivada do termo
é
vezes derivada de
, e a derivada de
é zero.
Passo 3
Agora substituímos
e
na equação
para verificar se dá
. Calculamos:
Desenvolvendo o segundo termo:
As parcelas
cancelam e sobra exatamente
. Isso mostra que, independentemente do valor de
,
satisfaz a equação diferencial.
Passo 4
Conclusão da verificação: como ao substituir obtivemos
para todo
e qualquer
, concluímos que
é solução da equação
para qualquer escolha de
. Ou seja, temos uma família de soluções parametrizada por
.
Passo 5
Vou agora explicar didaticamente como obter essa família de soluções a partir da equação — isto é útil para a prova. Começamos com a equação:
Multiplicamos ambos os lados por um fator integrante
que torne o lado esquerdo uma derivada total. Em equações da forma
, esse fator é
. Aqui
, logo
Multiplicando a equação por
obtemos:
Passo 6
Observe que o lado esquerdo é a derivada de
. De fato, por produto e cadeia,
Portanto a equação fica
Passo 7
Integramos ambos os lados em
:
Repare que
, então a integral é simplesmente
mais uma constante de integração
. Assim
Multiplicando por
vem
Renomeando
para
(já que é uma constante arbitrária) obtemos a mesma família de soluções:
Passo 8
Interpretação e formas úteis para a prova: a solução geral é soma de uma solução particular
(quando
) e da solução geral da homogênea
, que é
. Se você tiver uma condição inicial
, então o parâmetro
é dado por
ou seja, a constante ajusta a curva ao valor inicial pedido.
Passo 9
Agora sobre representar graficamente várias curvas da família no mesmo sistema de coordenadas — vou dar instruções e pontos numéricos para você desenhar sem calculadora (ou com uma calculadora simples). Escolha alguns valores de
para ver comportamento distinto, por exemplo
,
,
,
,
,
. Alguns fatos úteis para desenhar:
- Interseção com
: . Assim cada curva cruza o eixo em . - Derivada em
: (declive inicial). - Comportamento em
: , então para todo . Todas as curvas se aproximam horizontalmente de à esquerda. - Comportamento em
: se , ; se , ; se , (solução constante).
Passo 10
Aqui vão pontos práticos (valores aproximados) para plotar manualmente três abscissas simples
. Use
e
. Para cada
calcule
.
Para
(como
):
Exemplos numéricos:
Para
(já que
):
Exemplos:
Para
(como
):
Exemplos:
Passo 11
Como desenhar com esses pontos: trace eixos
e
. Marque a linha horizontal
(solução particular). Para cada
plote os três pontos
,
,
dados acima e desenhe uma curva suave exponencial que passe por eles (crescendo rapidamente para a direita se
, decrescendo para
à direita se
). Use as mesmas escalas nos eixos para todas as curvas; assim você terá várias curvas da família no mesmo gráfico. Isso representa visualmente a família
.