Mostre que \varphi(x)=C e^{3 x}+1 é uma solução para d y / d x-3 y=-3 para qualquer escolha da constante C. Assim, \mathrm{Ce}^{3 x}+1 é uma família de soluções com um parâmetro para a equação diferencial. Represente em gráfico várias das curvas de solução usando os mesmos eixos de coordenadas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) mostrar que \varphi(x)=C e^{3 x}+1 é uma solução da equação diferencial \dfrac{d y}{d x}-3 y=-3 para qualquer constante C; (2) representar graficamente várias curvas dessa família de soluções usando os mesmos eixos.
Informações dadas: a função candidata é \varphi(x)=C e^{3 x}+1 com C constante arbitrária, e a equação diferencial é \dfrac{d y}{d x}-3 y=-3.
Não vou resolver nada aqui ainda — só organizei o que é pedido e os dados que temos.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de \varphi(x). Lembre que a derivada de e^{3x} é 3e^{3x} porque, por regra da cadeia, \dfrac{d}{dx} e^{u(x)} = u'(x)e^{u(x)} e aqui u(x)=3x tem u'(x)=3. Como C é constante, temos:
\frac{d\varphi}{dx} = \frac{d}{dx}\big(C e^{3x}+1\big) = C\cdot 3 e^{3x} + 0 = 3C e^{3x}.
Expliquei cada passo: derivada do termo C e^{3x} é C vezes derivada de e^{3x}, e a derivada de 1 é zero.

Passo 3

Agora substituímos \varphi e \dfrac{d\varphi}{dx} na equação \dfrac{dy}{dx}-3y para verificar se dá -3. Calculamos:
\frac{d\varphi}{dx} - 3\varphi = 3C e^{3x} - 3\big(C e^{3x}+1\big).
Desenvolvendo o segundo termo:
3C e^{3x} - 3C e^{3x} - 3 = -3.
As parcelas 3C e^{3x} cancelam e sobra exatamente -3. Isso mostra que, independentemente do valor de C, \varphi satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Conclusão da verificação: como ao substituir obtivemos -3 para todo x e qualquer C, concluímos que \varphi(x)=C e^{3x}+1 é solução da equação \dfrac{dy}{dx}-3y=-3 para qualquer escolha de C. Ou seja, temos uma família de soluções parametrizada por C.

Passo 5

Vou agora explicar didaticamente como obter essa família de soluções a partir da equação — isto é útil para a prova. Começamos com a equação:
\frac{dy}{dx}-3y=-3.
Multiplicamos ambos os lados por um fator integrante \mu(x) que torne o lado esquerdo uma derivada total. Em equações da forma \dfrac{dy}{dx}+p(x)y=q(x), esse fator é \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. Aqui p(x)=-3, logo
\mu(x)=e^{\int -3\,dx}=e^{-3x}.
Multiplicando a equação por e^{-3x} obtemos:
e^{-3x}\frac{dy}{dx} - 3 e^{-3x} y = -3 e^{-3x}.

Passo 6

Observe que o lado esquerdo é a derivada de e^{-3x}y. De fato, por produto e cadeia,
\frac{d}{dx}\big(e^{-3x}y\big) = e^{-3x}\frac{dy}{dx} + y\frac{d}{dx}\big(e^{-3x}\big) = e^{-3x}\frac{dy}{dx} -3 e^{-3x}y.
Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\big(e^{-3x}y\big) = -3 e^{-3x}.

Passo 7

Integramos ambos os lados em x:
e^{-3x}y = \int -3 e^{-3x}\,dx.
Repare que \dfrac{d}{dx} e^{-3x} = -3 e^{-3x}, então a integral é simplesmente e^{-3x} mais uma constante de integração C_1. Assim
e^{-3x}y = e^{-3x} + C_1.
Multiplicando por e^{3x} vem
y = 1 + C_1 e^{3x}.
Renomeando C_1 para C (já que é uma constante arbitrária) obtemos a mesma família de soluções:
y = C e^{3x} + 1.

Passo 8

Interpretação e formas úteis para a prova: a solução geral é soma de uma solução particular y_p=1 (quando C=0) e da solução geral da homogênea \dfrac{dy}{dx}-3y=0, que é y_h = C e^{3x}. Se você tiver uma condição inicial y(x_0)=y_0, então o parâmetro C é dado por
C = \big(y_0 - 1\big) e^{-3x_0},
ou seja, a constante ajusta a curva ao valor inicial pedido.

Passo 9

Agora sobre representar graficamente várias curvas da família no mesmo sistema de coordenadas — vou dar instruções e pontos numéricos para você desenhar sem calculadora (ou com uma calculadora simples). Escolha alguns valores de C para ver comportamento distinto, por exemplo C=-1, C=-0,5, C=0, C=0,5, C=1, C=2. Alguns fatos úteis para desenhar:
  • Interseção com x=0: y(0)=C+1. Assim cada curva cruza o eixo y em C+1.
  • Derivada em x=0: y'(0)=3C (declive inicial).
  • Comportamento em x\to -\infty: e^{3x}\to 0, então y\to 1 para todo C. Todas as curvas se aproximam horizontalmente de y=1 à esquerda.
  • Comportamento em x\to +\infty: se C>0, y\to +\infty; se C<0, y\to -\infty; se C=0, y\equiv 1 (solução constante).

Passo 10

Aqui vão pontos práticos (valores aproximados) para plotar manualmente três abscissas simples x=-1,0,1. Use e^{-3}\approx 0,0498 e e^{3}\approx 20,0855. Para cada C calcule y(x)=C e^{3x}+1.
Para x=-1 (como e^{3(-1)}=e^{-3}\approx 0,0498):
y(-1)\approx C\cdot 0,0498 + 1.
Exemplos numéricos:
C=-1:\\ y(-1)\approx 0,9502,\quad C=-0,5:\\ y(-1)\approx 0,9751,\quad C=0:\\ y(-1)=1,
C=0,5:\\ y(-1)\approx 1,0249,\quad C=1:\\ y(-1)\approx 1,0498,\quad C=2:\\ y(-1)\approx 1,0996.
Para x=0 (já que e^{0}=1):
y(0)=C+1.
Exemplos:
C=-1:\\ y(0)=0,\quad C=-0,5:\\ y(0)=0,5,\quad C=0:\\ y(0)=1,
C=0,5:\\ y(0)=1,5,\quad C=1:\\ y(0)=2,\quad C=2:\\ y(0)=3.
Para x=1 (como e^{3}\approx 20,0855):
y(1)\approx C\cdot 20,0855 + 1.
Exemplos:
C=-1:\\ y(1)\approx -19,0855,\quad C=-0,5:\\ y(1)\approx -9,0428,\quad C=0:\\ y(1)=1,
C=0,5:\\ y(1)\approx 11,0428,\quad C=1:\\ y(1)\approx 21,0855,\quad C=2:\\ y(1)\approx 41,171.

Passo 11

Como desenhar com esses pontos: trace eixos x e y. Marque a linha horizontal y=1 (solução particular). Para cada C plote os três pontos ( -1,y(-1) ), (0,y(0)), (1,y(1)) dados acima e desenhe uma curva suave exponencial que passe por eles (crescendo rapidamente para a direita se C>0, decrescendo para -\infty à direita se C<0). Use as mesmas escalas nos eixos para todas as curvas; assim você terá várias curvas da família no mesmo gráfico. Isso representa visualmente a família y=Ce^{3x}+1.

Resposta

\varphi(x)=C e^{3x}+1 é solução da equação \dfrac{dy}{dx}-3y=-3 para qualquer constante C.\nPara representar graficamente a família, desenhe no mesmo sistema as curvas y=C e^{3x}+1 para valores como C=-1,-0,5,0,0,5,1,2 (por exemplo) usando pontos como os calculados em x=-1,0,1 e a linha horizontal y=1 como referência.

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