Verifique se x^{2}+c y^{2}=1, onde c é uma constante arbitrária diferente de zero, é uma familia de soluções implicitas com um parâmetro para
\frac{d y}{d x}=\frac{x y}{x^{2}-1}
e represente em gráfico várias das curvas de seleção usando os mesmos eixos de coordenadas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) verificar se a família de curvas implícitas \,x^{2}+c y^{2}=1, com c\neq0, é uma família de soluções (com parâmetro) da equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{x y}{x^{2}-1},
e (b) representar graficamente várias dessas curvas nos mesmos eixos.
Informações dadas que vamos usar: a família \,x^{2}+c y^{2}=1 (parâmetro c\neq0) e a equação diferencial \,\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x y}{x^{2}-1}. Não há figuras fornecidas.

Passo 2

Vamos começar a verificar a família por diferenciação implícita. Primeiro lembro rapidamente como fazer diferenciação implícita: se temos uma relação F(x,y)=0, derivamos ambos os lados em relação a x usando a regra da cadeia para y(x). Em particular, a derivada de y^{2} é 2y\,\dfrac{d y}{d x}. Agora aplico isso à família.
Diferenciando \,x^{2}+c y^{2}=1 em relação a x obtemos
2x + 2c\,y\,\frac{d y}{d x}=0.
Isolando \dfrac{d y}{d x}
\frac{d y}{d x}=-\frac{x}{c\,y}.
Essa é a expressão da derivada fornecida pela família, em termos de c e y.

Passo 3

Agora precisamos mostrar que a expressão \,-\dfrac{x}{c y} coincide com \dfrac{x y}{x^{2}-1} sempre que a relação \,x^{2}+c y^{2}=1 for satisfeita (isto é, para pontos da curva, exceto onde a equação diferencial é singular). Para isso, elimino c usando a própria equação da família.
Da equação \,x^{2}+c y^{2}=1 temos, resolvendo para c,
c=\frac{1-x^{2}}{y^{2}}\quad\text{(válido quando \(y\neq0\)).}á
Agora computamos c\,y, que aparece no denominador da expressão da derivada:
c\,y=\frac{1-x^{2}}{y^{2}}\cdot y=\frac{1-x^{2}}{y}.
Substituindo em \,-\dfrac{x}{c y} obtemos
-\frac{x}{c y}=-\frac{x}{\dfrac{1-x^{2}}{y}}=-x\cdot\frac{y}{1-x^{2}}=\frac{x y}{x^{2}-1},
pois -\dfrac{1}{1-x^{2}}=\dfrac{1}{x^{2}-1}. Portanto, para pontos com y\neq0 e x^{2}\neq1 (para evitar divisão por zero), a derivada obtida da família coincide exatamente com a dada pela equação diferencial. Isso mostra que cada curva da família é solução implícita da EDO nos intervalos onde a EDO é definida.

Passo 4

Tratemos rapidamente os casos especiais e a explicação conceitual:
  • A EDO tem singularidades em x=\pm1 porque o denominador x^{2}-1 zera aí. Nas curvas da família, os pontos com y=0 correspondem exatamente a x=\pm1 (pois se y=0 então x^{2}=1). Nesses pontos a EDO não está definida; por isso consideramos as soluções em domínios onde x\neq\pm1.
  • Se x=0 e a curva satisfaz x^{2}+c y^{2}=1, então c y^{2}=1 e y\neq0 (quando c>0); nestes pontos a derivada implícita -x/(c y) vale 0, que também coincide com a EDO avaliada em x=0, já que a EDO dá y'=0 em x=0. Então não há contradição nesses pontos (desde que x\neq\pm1).

Passo 5

Vou mostrar a solução geral via separação de variáveis (isso ajuda a entender de onde vem a família). A EDO é separável:
\frac{1}{y}\,dy=\frac{x}{x^{2}-1}\,dx.
Integramos ambos os lados:
\int\frac{1}{y}\,dy=\int\frac{x}{x^{2}-1}\,dx.
A integral à esquerda é \ln|y|. Para a direita, faça u=x^{2}-1 então du=2x\,dx, então
\int\frac{x}{x^{2}-1}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}\,du=\frac{1}{2}\ln|x^{2}-1|.
Logo
\ln|y|=\frac{1}{2}\ln|x^{2}-1|+C,
onde C é constante. Exponenciando:
|y|=A\sqrt{|x^{2}-1|},\quad A=e^{C}>0.
Elevando ao quadrado:
y^{2}=A^{2}(x^{2}-1).
Rearranjando dá
x^{2}-\frac{1}{A^{2}}y^{2}=1,
isto é
x^{2}+c y^{2}=1
com c=-\dfrac{1}{A^{2}} (note que c pode assumir qualquer valor real diferente de zero, dependendo do sinal de A^{2} e do sinal de x^{2}-1 no domínio considerado). Assim a família dada é exatamente a forma geral das soluções obtidas por separação, com a identificação do parâmetro.

Passo 6

Agora explico como representar graficamente várias curvas da família e dou exemplos concretos (passo-a-passo que você pode reproduzir numa prova ou num rascunho):
Forma explícita para plotar: da equação \,x^{2}+c y^{2}=1 isolamos y:
y=\pm\sqrt{\frac{1-x^{2}}{c}}.
Para que a raiz seja real precisamos que \dfrac{1-x^{2}}{c}\ge0. Isso dá dois casos:
  • Se \,c>0: então 1-x^{2}\ge0\Rightarrow |x|\le1. As curvas são elipses (no caso especial c=1 é o círculo unidade). Interceptos: em x=0 temos y=\pm\dfrac{1}{\sqrt{c}}; em y=0 temos x=\pm1.
  • Se \,c<0: então 1-x^{2}\le0\Rightarrow |x|\ge1. As curvas são hipérbolas (escritas como x^{2}-|c|y^{2}=1). Para grandes |x| as assíntotas são
y=\pm\frac{x}{\sqrt{|c|}}.
Sugestões de curvas para desenhar juntas (use os mesmos eixos x,y):
  • \,c=1: \,x^{2}+y^{2}=1 (círculo unidade). Pontos notáveis: (\pm1,0), (0,\pm1).
  • \,c=2: \,x^{2}+2y^{2}=1. Aqui y-intercept \pm1/\sqrt{2}\approx\pm0{,}707. Domínio x\in[-1,1]. É uma elipse mais “achatada”.
  • \,c=0{,}5: \,x^{2}+0{,}5\,y^{2}=1. Aqui y-intercept \pm1/\sqrt{0{,}5}=\pm\sqrt{2}\approx\pm1{,}414. Elipse mais alta.
  • \,c=-1: \,x^{2}-y^{2}=1. Hipérbole padrão com assíntotas y=\pm x. Domínio |x|\ge1.
  • \,c=-0{,}5: \,x^{2}-0{,}5\,y^{2}=1. Assíntotas y=\pm\sqrt{2}\,x. Ramos para |x|\ge1.
Como desenhar na prática: para cada c positivo, traçar a elipse no intervalo x\in[-1,1] usando os y-interceptos dados; para cada c negativo, desenhar as duas ramos da hipérbole para |x|\ge1 e marcar as assíntotas y=\pm x/\sqrt{|c|}. Sempre marque que x=\pm1 são pontos em que a EDO é singular (a solução implícita pode passar por lá, mas a EDO não está definida exatamente nesses pontos).

Passo 7

Resumo final da verificação e observações para prova (curta e prática): a diferenciação implícita da família dá \dfrac{d y}{d x}=-\dfrac{x}{c y}; usando c=(1-x^{2})/y^{2} essa expressão se transforma exatamente em \dfrac{x y}{x^{2}-1}. Portanto a família \,x^{2}+c y^{2}=1 com parâmetro c\neq0 é de fato a família geral de soluções implícitas da EDO, válida em intervalos onde x\neq\pm1 (e y\neq0 na manipulação algébrica; os pontos com y=0 correspondem a x=\pm1, onde a EDO é singular). Para plotar, use a forma y=\pm\sqrt{(1-x^{2})/c} e siga as observações de domínio/assíntotas dadas acima.

Resposta

Sim: \,x^{2}+c y^{2}=1 é uma família de soluções implícitas (parâmetro c\neq0) da EDO \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x y}{x^{2}-1} (verificação por diferenciação implícita e eliminação de c).
Representação: as curvas são dadas por \;y=\pm\sqrt{\dfrac{1-x^{2}}{c}};; para c>0 são elipses em |x|\le1 (ex.: c=1,2,0{,}5) e para c<0 são hipérbolas em |x|\ge1 com assíntotas y=\pm\dfrac{x}{\sqrt{|c|}} (ex.: c=-1,-0{,}5).

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