Verifique se
, onde
é uma constante arbitrária diferente de zero, é uma familia de soluções implicitas com um parâmetro para
e represente em gráfico várias das curvas de seleção usando os mesmos eixos de coordenadas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) verificar se a família de curvas implícitas
, com
, é uma família de soluções (com parâmetro) da equação diferencial
e (b) representar graficamente várias dessas curvas nos mesmos eixos.
Informações dadas que vamos usar: a família (parâmetro
) e a equação diferencial
. Não há figuras fornecidas.
Informações dadas que vamos usar: a família
Passo 2
Vamos começar a verificar a família por diferenciação implícita. Primeiro lembro rapidamente como fazer diferenciação implícita: se temos uma relação
, derivamos ambos os lados em relação a
usando a regra da cadeia para
. Em particular, a derivada de
é
. Agora aplico isso à família.
Diferenciando
em relação a
obtemos
Isolando
dá
Essa é a expressão da derivada fornecida pela família, em termos de
e
.
Passo 3
Agora precisamos mostrar que a expressão
coincide com
sempre que a relação
for satisfeita (isto é, para pontos da curva, exceto onde a equação diferencial é singular). Para isso, elimino
usando a própria equação da família.
Da equação
temos, resolvendo para
,
Agora computamos
, que aparece no denominador da expressão da derivada:
Substituindo em
obtemos
pois
. Portanto, para pontos com
e
(para evitar divisão por zero), a derivada obtida da família coincide exatamente com a dada pela equação diferencial. Isso mostra que cada curva da família é solução implícita da EDO nos intervalos onde a EDO é definida.
Passo 4
Tratemos rapidamente os casos especiais e a explicação conceitual:
- A EDO tem singularidades em
porque o denominador zera aí. Nas curvas da família, os pontos com correspondem exatamente a (pois se então ). Nesses pontos a EDO não está definida; por isso consideramos as soluções em domínios onde . - Se
e a curva satisfaz , então e (quando ); nestes pontos a derivada implícita vale , que também coincide com a EDO avaliada em , já que a EDO dá em . Então não há contradição nesses pontos (desde que ).
Passo 5
Vou mostrar a solução geral via separação de variáveis (isso ajuda a entender de onde vem a família). A EDO é separável:
Integramos ambos os lados:
A integral à esquerda é
. Para a direita, faça
então
, então
Logo
onde
é constante. Exponenciando:
Elevando ao quadrado:
Rearranjando dá
isto é
com
(note que
pode assumir qualquer valor real diferente de zero, dependendo do sinal de
e do sinal de
no domínio considerado). Assim a família dada é exatamente a forma geral das soluções obtidas por separação, com a identificação do parâmetro.
Passo 6
Agora explico como representar graficamente várias curvas da família e dou exemplos concretos (passo-a-passo que você pode reproduzir numa prova ou num rascunho):
Forma explícita para plotar: da equação
isolamos
:
Para que a raiz seja real precisamos que
. Isso dá dois casos:
- Se
: então . As curvas são elipses (no caso especial é o círculo unidade). Interceptos: em temos ; em temos . - Se
: então . As curvas são hipérbolas (escritas como ). Para grandes as assíntotas são
Sugestões de curvas para desenhar juntas (use os mesmos eixos
):
-
: (círculo unidade). Pontos notáveis: , . -
: . Aqui -intercept . Domínio . É uma elipse mais “achatada”. -
: . Aqui -intercept . Elipse mais alta. -
: . Hipérbole padrão com assíntotas . Domínio . -
: . Assíntotas . Ramos para .
Como desenhar na prática: para cada
positivo, traçar a elipse no intervalo
usando os
-interceptos dados; para cada
negativo, desenhar as duas ramos da hipérbole para
e marcar as assíntotas
. Sempre marque que
são pontos em que a EDO é singular (a solução implícita pode passar por lá, mas a EDO não está definida exatamente nesses pontos).
Passo 7
Resumo final da verificação e observações para prova (curta e prática): a diferenciação implícita da família dá
; usando
essa expressão se transforma exatamente em
. Portanto a família
com parâmetro
é de fato a família geral de soluções implícitas da EDO, válida em intervalos onde
(e
na manipulação algébrica; os pontos com
correspondem a
, onde a EDO é singular). Para plotar, use a forma
e siga as observações de domínio/assíntotas dadas acima.
Resposta
Sim:
é uma família de soluções implícitas (parâmetro
) da EDO
(verificação por diferenciação implícita e eliminação de
).
Representação: as curvas são dadas por ;; para
são elipses em
(ex.:
) e para
são hipérbolas em
com assíntotas
(ex.:
).
Representação: as curvas são dadas por