Desenvolver e simplificar as expressões seguintes.
\frac{2}{5}(3 \vec{u}-4 \vec{v})+\frac{3}{5}(4 \vec{u}+3 \vec{v})

Passo 1

O enunciado nos pede para desenvolver a expressão
\frac{2}{5}(3\vec u - 4\vec v) + \frac{3}{5}(4\vec u + 3\vec v).
O que vamos usar é a distributividade da multiplicação escalar em vetores e, depois, agrupar os termos em \vec u e em \vec v.

Passo 2

Aplicar a distributividade em cada parcela:
\frac{2}{5}(3\vec u - 4\vec v) = \frac{2}{5}\cdot3\vec u \;-\;\frac{2}{5}\cdot4\vec v = \frac{6}{5}\vec u - \frac{8}{5}\vec v
\frac{3}{5}(4\vec u + 3\vec v) = \frac{3}{5}\cdot4\vec u + \frac{3}{5}\cdot3\vec v = \frac{12}{5}\vec u + \frac{9}{5}\vec v

Passo 3

Somar as duas expressões, agrupando termos semelhantes:
\left(\frac{6}{5}\vec u + \frac{12}{5}\vec u\right) \;+\;\left(-\frac{8}{5}\vec v + \frac{9}{5}\vec v\right).

Passo 4

Calcular as somas dos coeficientes:
\frac{6}{5} + \frac{12}{5} = \frac{18}{5}, \qquad -\frac{8}{5} + \frac{9}{5} = \frac{1}{5}.
Logo a expressão final é
\frac{18}{5}\vec u + \frac{1}{5}\vec v.

Resposta

\displaystyle \frac{18}{5}\vec u + \frac{1}{5}\vec v

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