Exercício de participação (entregar dia 25/11/2025):
  • Determinar o vetor campo magnético \mathbf{H} devido a dois planos infinitos de corrente, posicionados no plano yz em x =-3 \mathrm{me} em \mathrm{x}=2 \mathrm{~m}, contendo uma densidade superficial de corrente de 41 \hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}} \mathrm{A} / \mathrm{m} e de -18 \hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}} \mathrm{A} / \mathrm{m}, respectivamente.
    Considerar os pontos: a) \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(1,2,3); e \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(-4,-4,2).

Passo 1

O enunciado dá duas lâminas infinitas de corrente situadas no plano yz (ou seja, posições em x fixas) e pede o campo \mathbf{H} nos pontos indicados. Dados extraídos do enunciado:
  • Lâmina 1: está em x_1=-3\\ \mathrm{m} com densidade superficial de corrente \mathbf{K}_1 = 41\,\hat{\mathbf{a}}_{y}\\ \mathrm{A/m}.
  • Lâmina 2: está em x_2=2\\ \mathrm{m} com densidade superficial de corrente \mathbf{K}_2 = -18\,\hat{\mathbf{a}}_{y}\\ \mathrm{A/m}.
  • Pontos onde queremos \mathbf{H}:
    • P_A(1,2,3) (tem x=1\\ \mathrm{m});
    • P_B(-4,-4,2) (tem x=-4\\ \mathrm{m}).
      O que é pedido: determinar \mathbf{H} em P_A e em P_B.

Passo 2

Idéia física e estratégia (aula rápida, passo a passo).
  • Para uma lâmina infinita no plano yz com densidade superficial de corrente \mathbf{K} na direção \hat{\mathbf{a}}_y, por simetria o campo \mathbf{H} só pode ter componente na direção \hat{\mathbf{a}}_z e depender apenas de x. Isso porque a lâmina é infinita nas direções y e z: não há variação nessas direções, então nada impede apenas uma dependência em x. Além disso, a direção do campo deve ser perpendicular à corrente (pela regra da mão direita), aqui resulta em componente ao longo de \hat{\mathbf{a}}_z.
  • Use a Lei de Ampère na forma integral para uma lâmina única: escolha um caminho retangular no plano xz que cruza a lâmina. Se o lado do retângulo paralelo a z tem comprimento L, a integral de \mathbf{H} ao longo do contorno dá
\oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = H_z(-a)\,L - H_z(+a)\,L = I_{\mathrm{enc}}.
Aqui H_z(-a) é o valor de H_z à esquerda da lâmina e H_z(+a) à direita; I_{\mathrm{enc}} = K\,L é a corrente atravessada pelo laço (se o laço cruza a lâmina).
  • Assim obtemos a relação de salto
H_z(\text{esquerda}) - H_z(\text{direita}) = K,
onde K é a componente de \mathbf{K} na direção \hat{\mathbf{a}}_y (um número, positivo ou negativo).
  • Pela simetria do problema para uma lâmina isolada é natural escolher os campos constantes e iguais em magnitude, com sinais opostos, em cada lado da lâmina. Então se H_z^{(L)} é o valor à esquerda e H_z^{(R)} à direita, e supondo H_z^{(L)} = -H_z^{(R)}, da relação acima segue
2 H_z^{(L)} = K \quad\Rightarrow\quad H_z^{(L)}=\frac{K}{2},\quad H_z^{(R)}=-\frac{K}{2}.
  • Resumindo em uma fórmula conveniente: para uma lâmina em x=x_0 com \mathbf{K}=K\,\hat{\mathbf{a}}_y, sua contribuição ao componente z de \mathbf{H} em um ponto de coordenada x é
H_{z,\text{da lâmina}}(x)=\frac{K}{2}\,\operatorname{sgn}(x_0-x),â
onde \operatorname{sgn}(t)=+1 se t>0 (ponto está à esquerda da lâmina), \operatorname{sgn}(t)=-1 se t<0 (ponto à direita da lâmina). (Se o ponto estivesse exatamente na lâmina, o valor médio seria \tfrac{K}{2} no sentido de valor médio lateral; aqui todos os pontos dados não estão sobre as lâminas.)
  • Como o campo resultante é a superposição linear dos campos de cada lâmina, somamos as contribuições escalares em z e escrevemos
\mathbf{H}(x)=\bigl(H_{z,1}(x)+H_{z,2}(x)\bigr)\,\hat{\mathbf{a}}_z.

Passo 3

Aplicando a fórmula para a lâmina 1 (em x_1=-3\\ \mathrm{m}, K_1=41\\ \mathrm{A/m}):
  • A contribuição escalar é
H_{z,1}(x)=\frac{K_1}{2}\,\operatorname{sgn}(x_1-x)=\frac{41}{2}\,\operatorname{sgn}(-3-x).
Agora avalio nos pontos:
  • Em P_A temos x=1. Então -3-1=-4<0, logo \operatorname{sgn}(-3-1)=-1. Assim
H_{z,1}(P_A)=\frac{41}{2}\cdot(-1)=-\frac{41}{2}=-20{,}5\\ \mathrm{A/m}.
  • Em P_B temos x=-4. Então -3-(-4)=1>0, logo \operatorname{sgn}(1)=+1. Assim
H_{z,1}(P_B)=\frac{41}{2}\cdot(+1)=\frac{41}{2}=20{,}5\\ \mathrm{A/m}.

Passo 4

Aplicando a fórmula para a lâmina 2 (em x_2=2\\ \mathrm{m}, K_2=-18\\ \mathrm{A/m}):
  • A contribuição escalar é
H_{z,2}(x)=\frac{K_2}{2}\,\operatorname{sgn}(x_2-x)=\frac{-18}{2}\,\operatorname{sgn}(2-x)=-9\,\operatorname{sgn}(2-x).
Agora avalio nos pontos:
  • Em P_A com x=1: 2-1=1>0 então \operatorname{sgn}(2-1)=+1. Logo
H_{z,2}(P_A)=-9\cdot(+1)=-9\\ \mathrm{A/m}.
  • Em P_B com x=-4: 2-(-4)=6>0 então \operatorname{sgn}(6)=+1. Logo
H_{z,2}(P_B)=-9\cdot(+1)=-9\\ \mathrm{A/m}.

Passo 5

Somando as contribuições (superposição) para obter o campo total \mathbf{H} em cada ponto:
  • Em P_A ( x=1):
H_z(P_A)=H_{z,1}(P_A)+H_{z,2}(P_A) = -20{,}5 + (-9) = -29{,}5\\ \mathrm{A/m}.
Portanto
\mathbf{H}(P_A) = -29{,}5\\ \hat{\mathbf{a}}_z\\ \mathrm{A/m}.
  • Em P_B ( x=-4):
H_z(P_B)=H_{z,1}(P_B)+H_{z,2}(P_B) = 20{,}5 + (-9) = 11{,}5\\ \mathrm{A/m}.
Portanto
\mathbf{H}(P_B) = 11{,}5\\ \hat{\mathbf{a}}_z\\ \mathrm{A/m}.

Resposta

\mathbf{H}(P_A) = -29{,}5\,\hat{\mathbf{a}}_z\\ \mathrm{A/m}\newline
\mathbf{H}(P_B) = 11{,}5\,\hat{\mathbf{a}}_z\\ \mathrm{A/m}

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