Um grupo Ward-Leonard aciona uma carga constante \mathrm{M}=1000 \mathrm{Nm} que opera a uma velocidade de 100 rpm . A relação de redução é 1:10 (10 rpm do motor fornece 1 rpm no eixo da carga). O rendimento do redutor é de 90%. Desta forma, determine:
a) A potência do motor;
b) A potência do gerador, considerando-se que o motor opera com 500 \mathrm{~V}, \mathrm{~V}=10, \eta=0,9, n =1000 \mathrm{rpm};
c) Qual deve ser a excitação do gerador para que a velocidade do motor seja 500 rpm com carga nominal. Sabe-se que o controle de velocidade é feito através da tensão de armadura até 1000 rpm e através do enfraquecimento de fluxo para velocidades superiores a esta. Suponha que o gerador possua os mesmos dados do motor;
d) Estando o acionamento com metade da carga nominal, potência e tensão de armadura nominais, qual o maior valor possível de sobrevelocidade em regime contínuo? Qual a excitação do motor?

Passo 1

O enunciado dá um acionamento Ward–Leonard que movimenta uma carga com os seguintes dados:
  • Torque na carga: \,M=1000\\ \mathrm{Nm}\,.
  • Velocidade da carga: \,n_{\text{carga}}=100\\ \mathrm{rpm}\,.
  • Relação de redução: \,1:10 (ou seja, \,n_{\text{motor}} = 10\cdot n_{\text{carga}}\,).
  • Rendimento do redutor: \,\eta_{\text{red}}=0{,}9\,.
    Além disso, em item (b) é informado:
  • Tensão nominal do motor (armadura): \,V_{\text{nom}}=500\\ \mathrm{V}\,.
  • Eficiência do motor (quando mencionada): \,\eta_{\text{motor}}=0{,}9\,.
  • Velocidade nominal do motor: \,n_{\text{nom}}=1000\\ \mathrm{rpm}\,.
O que o enunciado pede:
a) Determinar a potência do motor (ou potência mecânica no eixo do motor necessária para acionar a carga, considerando o redutor).
b) Determinar a potência do gerador, supondo que o motor opera com \,500\\ \mathrm{V}, \eta=0{,}9 e \,n=1000\\ \mathrm{rpm}. (Interpretarei isto como: potência elétrica que o gerador deve fornecer ao motor — ou seja, potência elétrica na armadura do motor.)
c) Para que a velocidade do motor seja \,500\\ \mathrm{rpm} com carga nominal, qual excitação do gerador é necessária, sabendo que até \,1000\\ \mathrm{rpm} o controle é feito por tensão de armadura (e que gerador e motor têm os mesmos dados).
d) Com metade da carga nominal, mantendo tensão de armadura e potência de armadura nominais, qual o maior valor possível de sobrevelocidade em regime contínuo? Qual a excitação do motor correspondente?
Observações que vou usar (não vou assumir nada sem explicar):
  • Conversão rpm \to velocidade angular: \displaystyle \omega = 2\pi\frac{n}{60} (rad/s).
  • Potência mecânica (eixo): \displaystyle P = T\cdot\omega (W), com T em Nm e \omega em rad/s.
  • Em redutor com eficiência \eta_{\text{red}}: \displaystyle P_{\text{carga}} = \eta_{\text{red}}\; P_{\text{motor}}, portanto \displaystyle P_{\text{motor}} = \frac{P_{\text{carga}}}{\eta_{\text{red}}}.
  • Relação entre torques quando há eficiência do redutor: \displaystyle T_{\text{load}} = \eta_{\text{red}}\; g\; T_{\text{motor}} com g=n_{\text{motor}}/n_{\text{load}}. Assim \displaystyle T_{\text{motor}}=\dfrac{T_{\text{load}}}{\eta_{\text{red}}\; g}.
  • Para máquinas CC (relação útil): tensão de armadura (próxima ao campo de tensão efetiva) \,E=k\Phi\,\omega. Até a velocidade base (aqui \,1000\\ \mathrm{rpm}) controla‑se pela tensão de armadura, ou seja, para um fluxo constante a tensão é proporcional à velocidade. Se o gerador gira à mesma velocidade, a tensão de saída do gerador é proporcional à excitação (fluxo) times velocidade; como aqui a velocidade do gerador é fixada (é o mesmo eixo do motor/prime mover), reduzir a excitação reduz a tensão proporcionalmente.
Agora começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Converter dados primários para grandezas úteis e calcular a potência absorvida pela carga (potência mecânica na carga):
  • Velocidade da carga em rad/s:
\omega_{\text{carga}} = 2\pi\frac{n_{\text{carga}}}{60} = 2\pi\frac{100}{60} = \frac{10\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}\approx 10{,}47198\\ \mathrm{rad/s}.
  • Potência na carga (mecânica):
P_{\text{carga}} = M\cdot\omega_{\text{carga}} = 1000\cdot 10{,}47198 \approx 10471{,}98\\ \mathrm{W}\approx 10{,}472\\ \mathrm{kW}.
Anotação de simpatia: é sempre bom calcular potência direto de torque×velocidade angular — fica bem robusto na prova.

Passo 3

Encontrar as grandezas no eixo do motor (considerando o redutor \,1:10 com \eta_{\text{red}}=0{,}9):
  • Razão de velocidades: g=\dfrac{n_{\text{motor}}}{n_{\text{carga}}}=10. Logo n_{\text{motor}}=1000\\ \mathrm{rpm} (confirmado no enunciado).
  • Torque no motor (levando em conta rendimento do redutor). Parta da conservação de potência com rendimento:
P_{\text{motor}} = \dfrac{P_{\text{carga}}}{\eta_{\text{red}}}.
Também: P_{\text{motor}} = T_{\text{motor}}\cdot\omega_{\text{motor}} e \omega_{\text{motor}} = g\cdot\omega_{\text{carga}}. Podemos obter diretamente o torque no motor:
T_{\text{motor}}=\frac{T_{\text{load}}}{\eta_{\text{red}}\; g} = \frac{1000}{0{,}9\cdot 10}=\frac{1000}{9}\\ \mathrm{Nm}\approx 111{,}111\\ \mathrm{Nm}.
  • Velocidade angular do motor:
\omega_{\text{motor}} = 2\pi\frac{1000}{60} \approx 104{,}71976\\ \mathrm{rad/s}.
  • Potência mecânica no eixo do motor:
P_{\text{motor,mech}} = T_{\text{motor}}\cdot\omega_{\text{motor}} = \frac{1000}{9}\cdot 104{,}71976 \approx 11635{,}53\\ \mathrm{W}\approx 11{,}636\\ \mathrm{kW}.
Interpretação: devido às perdas do redutor o motor tem de entregar mais potência que a carga recebe.

Passo 4

Resposta do item (a) — explicação didática:
A “potência do motor” pedida normalmente é a potência mecânica que o motor deve fornecer no eixo para acionar a carga através do redutor. Já calculamos:
P_{\text{motor,mech}} \approx 11635{,}53\\ \mathrm{W}\approx 11{,}636\\ \mathrm{kW}.
Dica prática: na hora da prova, primeiro calcule potência na carga com P=T\omega, depois divida pelo rendimento do redutor se perguntar potência no motor.

Passo 5

Agora o item (b): potência do gerador.
Interpretação: o gerador deve fornecer a potência elétrica necessária para o motor (potência elétrica na armadura), ou seja, a potência mecânica no eixo do motor dividida pela eficiência do motor. Temos \eta_{\text{motor}}=0{,}9 e V_{\text{nom}}=500\\ \mathrm{V}.
  • Potência elétrica fornecida pela fonte (gerador) à armadura do motor:
P_{\text{gerador (el)}} = \frac{P_{\text{motor,mech}}}{\eta_{\text{motor}}} = \frac{11635{,}53}{0{,}9}\approx 12928{,}37\\ \mathrm{W}\approx 12{,}928\\ \mathrm{kW}.
  • Corrente elétrica fornecida pelo gerador (se a tensão armadura é 500\\ \mathrm{V}):
I_{\text{arm}}=\frac{P_{\text{gerador (el)}}}{V_{\text{nom}}} =\frac{12928{,}37}{500}\approx 25{,}8567\\ \mathrm{A}.
Explicação didática curta: o gerador precisa fornecer a potência elétrica que, após perdas do motor (eficiência), resulta na potência mecânica que calculamos no passo anterior.

Passo 6

Item (c): excitação do gerador necessária para que o motor rode a \,500\\ \mathrm{rpm} com carga nominal.
Entendimento e teoria:
  • Até \,1000\\ \mathrm{rpm} o controle é por tensão de armadura: velocidade é proporcional à tensão aplicada quando o fluxo é constante. A relação (aproximada, ignorando queda de tensão armadura por resistência) é
V_{\text{arm}}\propto \omega\quad\text{(para } \Phi=\text{const}\text{).}
  • Como o motor nominal tem V_{\text{nom}}=500\\ \mathrm{V} a \,n_{\text{nom}}=1000\\ \mathrm{rpm}, para metade da velocidade (500 rpm) a tensão de armadura necessária (com fluxo constante) é metade da tensão nominal:
V_{\text{req}} = V_{\text{nom}}\cdot\frac{500}{1000} = 500\cdot 0{,}5 = 250\\ \mathrm{V}.
  • No sistema Ward–Leonard a tensão de armadura do motor é a tensão de saída do gerador. Se o gerador gira com velocidade constante (aqui supondo que o gerador é acionado na sua velocidade nominal) e tem os mesmos dados do motor, então a tensão do gerador é proporcional à excitação (fluxo) para velocidade fixa:
E_{\text{ger}} = k\;\Phi_{\text{ger}}\;\omega_{\text{ger}}\quad\Rightarrow\quad \Phi_{\text{ger}}\propto E_{\text{ger}}
Se E_{\text{ger,nom}}=500\\ \mathrm{V} para excitação nominal, para produzir 250\\ \mathrm{V} basta excitação igual a metade da nominal.
  • Conclusão: excitação do gerador necessária = 50\% da excitação nominal (metade do fluxo nominal).
Comentário prático: até a velocidade base usa‑se tensão de armadura; reduzir a excitação é usado para velocidades acima da base. Aqui como 500 rpm < 1000 rpm, regula‑se pela tensão (metade da tensão → metade da excitação do gerador, porque o gerador está girando à velocidade nominal).

Passo 7

Item (d): máxima sobrevelocidade em regime contínuo com metade da carga nominal, mantendo tensão e potência de armadura nominais. Explicação conceitual antes de calcular:
  • Para velocidades maiores que a base (1000 rpm) usa‑se enfraquecimento de fluxo (reduzir \Phi) mantendo a tensão de armadura constante (aqui V_{\text{nom}}=500\\ \mathrm{V}). Ao enfraquecer o fluxo, para fornecer um determinado torque é necessário maior corrente, e a potência da armadura P_a = V\cdot I aumenta. A limitação contínua é a potência (ou corrente) admissível na armadura (aqui está sendo mantida como nominal).
  • Procedimento prático: com torque fixo T (aqui metade do torque nominal), a corrente necessária é I=T/(k\Phi). A potência na armadura é P_a=V\cdot I. Se for exigido que P_a não exceda o valor nominal P_{a,\text{nom}}, isto define o mínimo admissível de k\Phi. A partir daí obtém‑se a velocidade máxima com E=k\Phi\omega (aproximando E\approx V quando se atinge o limite).
    Cálculo numérico, passo a passo:
  • Torque nominal no motor (já calculado no

Passo 8

T_{\text{nom}} = \frac{1000}{0{,}9\cdot 10}=\frac{1000}{9}\\ \mathrm{Nm}\approx 111{,}111\\ \mathrm{Nm}.
  • Metade da carga nominal: \displaystyle T_{\tfrac{1}{2}}=\frac{T_{\text{nom}}}{2}\approx 55{,}5556\\ \mathrm{Nm}.
  • Potência elétrica nominal disponível na armadura (já obtida no

Passo 9

P_{a,\text{nom}} = P_{\text{gerador(el)}} \approx 12{,}928{,}37\\ \mathrm{W}.
  • Para torque T_{\tfrac{1}{2}} e potência de armadura limitada a P_{a,\text{nom}}, a máxima velocidade angular admissível é
\omega_{\max}=\frac{P_{a,\text{nom}}}{T_{\tfrac{1}{2}}}.
(derivação rápida: P_a=V\cdot I e I=T/(k\Phi), e como k\Phi=E/\omega e em limite E\approx V, chega-se a \omega_{\max}=P_a/T.)
  • Calcule:
\omega_{\max}=\frac{12928{,}3648}{55{,}5556}\approx 232{,}7086\\ \mathrm{rad/s}.
Converter para rpm:
n_{\max}=\frac{\omega_{\max}\,60}{2\pi}\approx \frac{232{,}7086\cdot 60}{2\pi}\approx 2221{,}4\\ \mathrm{rpm}.
Isto é o máximo de rotação do motor em regime contínuo sob as condições do problema.
  • Em termos de “sobrenumeração” sobre a nominal ( 1000\\ \mathrm{rpm}), é \approx 2{,}22 vezes a velocidade nominal (ou seja, 222% de n_{\text{nom}}). Para a carga, que gira 10 vezes mais devagar, a velocidade da carga correspondente é
n_{\text{carga,max}}=\frac{n_{\max}}{10}\approx 222{,}14\\ \mathrm{rpm}.
  • Excitação do motor (fluxo relativo) necessária para alcançar essa velocidade sob meia carga:
    a forma prática: como E=k\Phi\omega e no limite E\approx V, o mínimo k\Phi é k\Phi_{\min}=V/\omega_{\max}. A razão em relação ao valor nominal k\Phi_{\text{nom}}=V/\omega_{\text{nom}} fica simplesmente
\frac{k\Phi_{\min}}{k\Phi_{\text{nom}}}=\frac{\omega_{\text{nom}}}{\omega_{\max}}.
Calcule:
\frac{k\Phi_{\min}}{k\Phi_{\text{nom}}}=\frac{104{,}7198}{232{,}7086}\approx 0{,}45 = 45\%.
Interpretação física: o campo deve ser reduzido para aproximadamente 45\% do valor nominal para permitir essa sobrevelocidade com meia carga, mantendo a tensão e a potência de armadura nominais.
Breve comentário de checagem: observa‑se uma relação simples aqui — com metade da carga e mantida a potência de armadura nominal, o campo fica aproximadamente \tfrac{1}{2}\eta_{\text{motor}}=0{,}5\cdot 0{,}9=0{,}45 (como se pode verificar algebraicamente), o que coincide com o valor numérico obtido.

Resposta

a) P_{\text{motor,mech}} \approx 11635{,}53\\ \mathrm{W} (ou 11{,}636\\ \mathrm{kW}).
b) P_{\text{gerador(el)}} \approx 12928{,}37\\ \mathrm{W} (ou 12{,}928\\ \mathrm{kW}); corrente na armadura I\approx 25{,}857\\ \mathrm{A} a 500\\ \mathrm{V}.
c) Tensão de armadura requerida V_{\text{req}}=250\\ \mathrm{V}; portanto excitação do gerador =50\% da excitação nominal.
d) Com meia carga, tensão e potência de armadura nominais: velocidade máxima do motor n_{\max}\approx 2221{,}4\\ \mathrm{rpm} (carga: \approx 222{,}14\\ \mathrm{rpm}); excitação do motor \approx 45\% da excitação nominal.

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