Exercício 7:
Uma partícula que carrega carga
está localizada na origem de um eixo
. Uma esfera sólida não condutora de raio
uniformemente carregada com carga
está centralizada em
no eixo
.
a) Em que posições no eixo
o campo elétrico é zero?
b) Se a esfera não condutora for substituída por uma esfera condutora de mesmo raio, carregada da mesma quantidade de carga, a resposta do item a) mudaria?
a) Em que posições no eixo
b) Se a esfera não condutora for substituída por uma esfera condutora de mesmo raio, carregada da mesma quantidade de carga, a resposta do item a) mudaria?
Passo 1
O enunciado envolve um campo elétrico gerado por duas distribuições de carga ao longo do eixo
: um ponto com carga
em
e uma esfera sólida não condutora de raio
com carga total
e centro em
. O objetivo do item (a) é achar as posições sobre o eixo
onde o campo resultante se anula. No item (b) comparamos esse resultado com o caso em que a esfera passa a ser condutora, mantendo-se
.
Passo 2
Dividimos o eixo em cinco regiões relevantes e analisamos a direção e a expressão do campo em cada uma:
- Região I:
- Região II:
(fora da esfera, à esquerda) - Região III:
(dentro da esfera, à esquerda do centro) - Região IV:
(dentro da esfera, à direita do centro) - Região V:
Para cada região, escrevemos
, levando em conta que campos de cargas positivas são direcionados para longe de suas cargas. Zeros só podem ocorrer onde os campos de
e de
tenham sentidos opostos.
Passo 3
Na região II
, estamos fora da esfera, então a esfera se comporta como carga pontual
em
. Aqui
Para anular o campo, igualamos magnitudes:
Como
está em
, esse é um ponto de anulação.
Passo 4
Na região III
, dentro da esfera não condutora e à esquerda do centro, o campo da esfera cresce linearmente com a distância ao centro:
onde
. Já
Impondo
em módulo,
Normalizando
, obtemos
, cujo único raiz em
é aproximadamente
. Logo
Passo 5
Nas outras regiões (I, IV e V) os sinais dos dois campos não se opõem de modo a permitir anulação. Concluímos, para a esfera não condutora:
Passo 6
Para o item (b), na esfera condutora o campo é nulo em todo interior
e fora se comporta como carga pontual
em
. Portanto só resta a mesma equação da Passo 3, que fornece
O zero em
desaparece porque não há campo interno para se anular com
.
Resposta
(a)
e
.
(b) Sim: com esfera condutora fica apenas .
(b) Sim: com esfera condutora fica apenas