Exercicio 7.2 Uma particula carregada viaja atraves de um campo magnetico uniforme, com velocidade perpendicular a direçå do campo. Sabemos que essa particula experimenta uma força magnetica que a faz mover-se em um caminho circular. Alem disso, como ela esta se movendo, a partícula carregada cria seu proprio campo magnetico I_{p} (a) Derive uma expressao para o modulo do campo magnetico I_{p} no centro do caminho circular em termos do modulo B_{\text {est }} do campo magnético uniforme externo, o raio R da orbita da particula, a carga q da particula e a massa m da particula. (b) Usando c^{2}=1 / \sqrt{\sqrt{106}}, mostre que sua expressio pode ser colocada na forma solicitada.
\frac{q^{2}}{4 \pi c_{v} R} \frac{1}{m c^{2}} B_{\mathrm{rat}}

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula de carga q e massa m move-se perpendicularmente a um campo magnético uniforme externo de módulo B_{\mathrm{est}}, descrevendo uma órbita circular de raio R. Como a carga se desloca em círculo, ela constitui uma corrente efetiva e gera um campo magnético no centro da órbita.
O que se pede:
  • (a) obter uma expressão para o módulo do campo magnético produzido pela partícula no centro da órbita (vou chamar esse campo de B_{p}) em termos de B_{\mathrm{est}}, R, q e m.
  • (b) mostrar que essa expressão pode ser escrita na forma pedida
\frac{q^{2}}{4\pi c_{v} R}\frac{1}{m c^{2}}B_{\mathrm{rat}}.
Dados relevantes listados: q, m, R, B_{\mathrm{est}}. Vou usar a força magnética que curva a trajetória (força de Lorentz), a expressão da corrente associada à carga em movimento circular e a fórmula do campo no centro de um loop circular de corrente.

Passo 2

Primeiro passo físico: relacionar a velocidade da partícula com o campo externo usando a igualdade entre força magnética e força centrípeta. A força magnética sobre uma carga com velocidade perpendicular ao campo é
F_{\text{mag}} = |q| v B_{\mathrm{est}}.
A força centrípeta necessária para mantê-la em movimento circular de raio R é
F_{\text{cent}} = \frac{m v^{2}}{R}.
Igualando as duas (pois a força magnética provê a centrípeta):
|q| v B_{\mathrm{est}} = \frac{m v^{2}}{R}.
Aqui v é a velocidade da partícula; q pode ser positivo ou negativo, mas usaremos o módulo |q| para as magnitudes.

Passo 3

Resolver a equação anterior para v. Cancelando um v (assumindo v\neq0):
|q| B_{\mathrm{est}} = \frac{m v}{R}.
Então
v = \frac{|q| B_{\mathrm{est}} R}{m}.
Explicação didática: isso vem direto da igualdade entre força magnética e centrípeta; a velocidade cresce com q, B_{\mathrm{est}} e R, e decresce com a massa m.

Passo 4

Agora tratamos a partícula em movimento circular como uma corrente elétrica. A corrente efetiva I_{p} gerada por uma carga q que dá voltas com período T é
I_{p} = \frac{|q|}{T}.
O período da volta é T = \dfrac{2\pi R}{v}. Substituindo:
I_{p} = \frac{|q|}{2\pi R/v} = \frac{|q| v}{2\pi R}.
Substituindo a expressão de v obtida no passo anterior:
I_{p} = \frac{|q|}{2\pi R}\cdot\frac{|q| B_{\mathrm{est}} R}{m} = \frac{q^{2} B_{\mathrm{est}}}{2\pi m}.
Observe que o fator R cancela aqui. Importante: usei q^{2} (positivo) porque apareceu |q|\cdot|q|.

Passo 5

Campo magnético no centro de um loop circular de raio R que transporta corrente I é, na teoria clássica do magnetismo (campo no centro do loop),
B_{\text{centro}} = \frac{\mu_0 I}{2R},
onde \mu_0 é a permeabilidade magnética do vácuo. Aplicando isso ao nosso loop de corrente I_{p}:
B_{p} = \frac{\mu_0 I_{p}}{2R}.
Substituindo I_{p} do passo anterior:
B_{p} = \frac{\mu_0}{2R}\cdot\frac{q^{2} B_{\mathrm{est}}}{2\pi m} = \frac{\mu_0 q^{2} B_{\mathrm{est}}}{4\pi m R}.
Portanto essa é a expressão direta e simples que liga o campo produzido pela partícula no centro da órbita com os dados pedidos.

Passo 6

Vamos interpretar e reescrever essa expressão na forma solicitada. A expressão que obtivemos é
B_{p}=\frac{\mu_0 q^{2} B_{\mathrm{est}}}{4\pi m R}.
Queremos colocá-la na forma
\frac{q^{2}}{4\pi c_{v} R}\frac{1}{m c^{2}}B_{\mathrm{rat}}.
Compare as duas escritas: escrevendo a forma alvo como
B_{p}=\frac{q^{2}}{4\pi m R}\cdot\frac{B_{\mathrm{rat}}}{c_{v} c^{2}}.
Para que isso seja idêntico à expressão com \mu_0 precisamos ter
\frac{B_{\mathrm{rat}}}{c_{v} c^{2}}=\mu_0 B_{\mathrm{est}}.
Uma escolha natural que torna a identificação simples é definir
c_{v}=\frac{1}{\mu_0}\qquad\text{e}\qquad B_{\mathrm{rat}}=c^{2}B_{\mathrm{est}}.
Com essas escolhas,
\frac{B_{\mathrm{rat}}}{c_{v} c^{2}}=\frac{c^{2}B_{\mathrm{est}}}{(1/\mu_0)\,c^{2}}=\mu_0 B_{\mathrm{est}},
e então a forma pedida coincide exatamente com a expressão obtida fisicamente.

Passo 7

Comentário sobre a relação com c: a relação física usual entre as constantes é
c^{2}=\frac{1}{\varepsilon_0\mu_0},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e \mu_0 a permeabilidade do vácuo. Usei aqui apenas a liberdade algébrica de escrever B_{\mathrm{rat}}=c^{2}B_{\mathrm{est}} e c_{v}=1/\mu_0 para obter a forma pedida. Se o enunciado fornece algum valor numérico estranho para c^{2} (por exemplo c^{2}=1/\sqrt{\sqrt{106}}), isso é um valor numérico que pode ser substituído em B_{\mathrm{rat}} se necessário; a identidade algébrica acima continua válida independentemente do valor numérico dado a c^{2}.

Resposta

B_{p}=\dfrac{\mu_{0}\,q^{2} B_{\mathrm{est}}}{4\pi m R}.
B_{p}=\dfrac{q^{2}}{4\pi c_{v} R}\dfrac{1}{m c^{2}}B_{\mathrm{rat}}, com a identificação conveniente c_{v}=\dfrac{1}{\mu_0} e B_{\mathrm{rat}}=c^{2}B_{\mathrm{est}}.

Exercícios relacionados