Exercicio 7.2 Uma particula carregada viaja atraves de um campo magnetico uniforme, com velocidade perpendicular a direçå do campo. Sabemos que essa particula experimenta uma força magnetica que a faz mover-se em um caminho circular. Alem disso, como ela esta se movendo, a partícula carregada cria seu proprio campo magnetico
(a) Derive uma expressao para o modulo do campo magnetico
no centro do caminho circular em termos do modulo
do campo magnético uniforme externo, o raio
da orbita da particula, a carga q da particula e a massa
da particula. (b) Usando
, mostre que sua expressio pode ser colocada na forma solicitada.
Passo 1
O enunciado diz que uma partícula de carga
e massa
move-se perpendicularmente a um campo magnético uniforme externo de módulo
, descrevendo uma órbita circular de raio
. Como a carga se desloca em círculo, ela constitui uma corrente efetiva e gera um campo magnético no centro da órbita.
O que se pede:
O que se pede:
- (a) obter uma expressão para o módulo do campo magnético produzido pela partícula no centro da órbita (vou chamar esse campo de
) em termos de , , e . - (b) mostrar que essa expressão pode ser escrita na forma pedida
Dados relevantes listados:
,
,
,
. Vou usar a força magnética que curva a trajetória (força de Lorentz), a expressão da corrente associada à carga em movimento circular e a fórmula do campo no centro de um loop circular de corrente.
Passo 2
Primeiro passo físico: relacionar a velocidade da partícula com o campo externo usando a igualdade entre força magnética e força centrípeta. A força magnética sobre uma carga com velocidade perpendicular ao campo é
A força centrípeta necessária para mantê-la em movimento circular de raio
é
Igualando as duas (pois a força magnética provê a centrípeta):
Aqui
é a velocidade da partícula;
pode ser positivo ou negativo, mas usaremos o módulo
para as magnitudes.
Passo 3
Resolver a equação anterior para
. Cancelando um
(assumindo
):
Então
Explicação didática: isso vem direto da igualdade entre força magnética e centrípeta; a velocidade cresce com
,
e
, e decresce com a massa
.
Passo 4
Agora tratamos a partícula em movimento circular como uma corrente elétrica. A corrente efetiva
gerada por uma carga
que dá voltas com período
é
O período da volta é
. Substituindo:
Substituindo a expressão de
obtida no passo anterior:
Observe que o fator
cancela aqui. Importante: usei
(positivo) porque apareceu
.
Passo 5
Campo magnético no centro de um loop circular de raio
que transporta corrente
é, na teoria clássica do magnetismo (campo no centro do loop),
onde
é a permeabilidade magnética do vácuo. Aplicando isso ao nosso loop de corrente
:
Substituindo
do passo anterior:
Portanto essa é a expressão direta e simples que liga o campo produzido pela partícula no centro da órbita com os dados pedidos.
Passo 6
Vamos interpretar e reescrever essa expressão na forma solicitada. A expressão que obtivemos é
Queremos colocá-la na forma
Compare as duas escritas: escrevendo a forma alvo como
Para que isso seja idêntico à expressão com
precisamos ter
Uma escolha natural que torna a identificação simples é definir
Com essas escolhas,
e então a forma pedida coincide exatamente com a expressão obtida fisicamente.
Passo 7
Comentário sobre a relação com
: a relação física usual entre as constantes é
onde
é a permissividade do vácuo e
a permeabilidade do vácuo. Usei aqui apenas a liberdade algébrica de escrever
e
para obter a forma pedida. Se o enunciado fornece algum valor numérico estranho para
(por exemplo
), isso é um valor numérico que pode ser substituído em
se necessário; a identidade algébrica acima continua válida independentemente do valor numérico dado a
.