Exercício 2 Uma partícula move-se ao longo do eixo
com aceleração constante. Sua posição inicial é
, sua velocidade inicial é
e sua aceleração é
.
(a) Escreva a função da posição
.
(b) Determine a posição no instante
.
(c) Em que instante a partícula atinge
?
(a) Escreva a função da posição
(b) Determine a posição no instante
(c) Em que instante a partícula atinge
Passo 1
O enunciado fornece estes dados iniciais:
- posição inicial
; - velocidade inicial
; - aceleração constante
.
O enunciado pede três coisas:
(a) escrever a função da posição ;
(b) determinar a posição no instante ;
(c) encontrar o instante em que a partícula atinge .
(a) escrever a função da posição
(b) determinar a posição no instante
(c) encontrar o instante em que a partícula atinge
Passo 2
Entendendo as relações fundamentais (rápido e direto): aceleração é a taxa de variação da velocidade no tempo, e velocidade é a taxa de variação da posição no tempo. Em notação,
Como a aceleração é constante (
é número fixo), podemos integrar para obter a velocidade em função do tempo. Integrar significa “somar as pequenas variações” — aqui fazemos passo a passo.
Passo 3
Integração da aceleração para obter a velocidade:
Integrando ambos os lados desde
até tempo genérico
e usando
, obtemos
Agora integramos a velocidade para obter a posição. Escrevendo
e integrando com
:
Integrando,
Essa é a fórmula padrão do movimento retilíneo com aceleração constante: a posição é a soma da posição inicial, do deslocamento devido à velocidade inicial e do deslocamento adicional devido à aceleração (o termo quadrático).
Passo 4
Aplicando a fórmula com os valores do enunciado (resolvendo o item (a) explicitamente):
Simplificando o termo da aceleração
,
Assim a função pedida em (a) está pronta.
Passo 5
Item (b): calcular
. Substituir
na expressão obtida:
Calcule passo a passo:
logo
Passo 6
Item (c): achar
tal que
. Começamos da equação
Passo a passo, subtrai 14 de ambos os lados para colocar na forma padrão de quadrática:
Agora resolvemos a equação quadrática
. Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação
as raízes são
Aqui
,
,
. Calcule o discriminante:
A raiz quadrada é
. Então as raízes são
Isso dá duas soluções:
Interpretação física:
seria um instante antes do tempo inicial
— matematicamente válido, mas geralmente não considerado na resposta quando se pergunta “em que instante” depois do início. O instante fisicamente relevante (após
) é
Resposta
(a)
(b)
(c)