Exercício 2 Uma partícula move-se ao longo do eixo x com aceleração constante. Sua posição inicial é x_{0}=2 \mathrm{~m}, sua velocidade inicial é v_{0}=4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e sua aceleração é a=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(a) Escreva a função da posição x(t).
(b) Determine a posição no instante t=3 \mathrm{~s}.
(c) Em que instante a partícula atinge x=14 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O enunciado fornece estes dados iniciais:
  • posição inicial \,x_{0}=2\\ \text{m};
  • velocidade inicial \,v_{0}=4\\ \text{m/s};
  • aceleração constante \,a=2\\ \text{m/s}^{2}.
O enunciado pede três coisas:
(a) escrever a função da posição \,x(t);
(b) determinar a posição no instante \,t=3\\ \text{s};
(c) encontrar o instante em que a partícula atinge \,x=14\\ \text{m}.

Passo 2

Entendendo as relações fundamentais (rápido e direto): aceleração é a taxa de variação da velocidade no tempo, e velocidade é a taxa de variação da posição no tempo. Em notação,
a=\frac{dv}{dt},\qquad v=\frac{dx}{dt}.
Como a aceleração é constante ( a é número fixo), podemos integrar para obter a velocidade em função do tempo. Integrar significa “somar as pequenas variações” — aqui fazemos passo a passo.

Passo 3

Integração da aceleração para obter a velocidade:
\frac{dv}{dt}=a \quad\Rightarrow\quad dv = a\,dt.
Integrando ambos os lados desde t=0 até tempo genérico t e usando v(0)=v_{0}, obtemos
v(t)=v_{0}+a\,t.
Agora integramos a velocidade para obter a posição. Escrevendo \,dx/dt=v_{0}+a t e integrando com x(0)=x_{0}:
dx = (v_{0}+a t)\,dt.
Integrando,
x(t)=x_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}a t^{2}.
Essa é a fórmula padrão do movimento retilíneo com aceleração constante: a posição é a soma da posição inicial, do deslocamento devido à velocidade inicial e do deslocamento adicional devido à aceleração (o termo quadrático).

Passo 4

Aplicando a fórmula com os valores do enunciado (resolvendo o item (a) explicitamente):
x(t)=2 + 4t + \tfrac{1}{2}\cdot 2 \,t^{2}.
Simplificando o termo da aceleração \tfrac{1}{2}\cdot 2 = 1,
x(t)=2 + 4t + t^{2}.
Assim a função pedida em (a) está pronta.

Passo 5

Item (b): calcular x(3). Substituir t=3 na expressão obtida:
x(3)=2 + 4\cdot 3 + 3^{2}.
Calcule passo a passo:
4\cdot 3 = 12,\qquad 3^{2}=9,
logo
x(3)=2+12+9=23\\ \text{m}.

Passo 6

Item (c): achar t tal que x(t)=14. Começamos da equação
2 + 4t + t^{2}=14.
Passo a passo, subtrai 14 de ambos os lados para colocar na forma padrão de quadrática:
t^{2}+4t+2-14=0 \quad\Rightarrow\quad t^{2}+4t-12=0.
Agora resolvemos a equação quadrática \,t^{2}+4t-12=0. Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação \,at^{2}+bt+c=0 as raízes são
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=4, c=-12. Calcule o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 4^{2}-4\cdot 1\cdot(-12)=16+48=64.
A raiz quadrada é \sqrt{\Delta}=\sqrt{64}=8. Então as raízes são
t=\frac{-4\pm 8}{2}.
Isso dá duas soluções:
t_{1}=\frac{-4+8}{2}=\frac{4}{2}=2\\ \text{s},
t_{2}=\frac{-4-8}{2}=\frac{-12}{2}=-6\\ \text{s}.
Interpretação física: t=-6\\ \text{s} seria um instante antes do tempo inicial t=0 — matematicamente válido, mas geralmente não considerado na resposta quando se pergunta “em que instante” depois do início. O instante fisicamente relevante (após t=0) é
t=2\\ \text{s}.

Resposta

(a) x(t)=2+4t+t^{2}
(b) x(3)=23\\ \text{m}
(c) t=2\\ \text{s}

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