Exercício 1 Uma partícula move-se ao longo do eixo x, e sua posição é dada por
\vec{r}(t)=\left(\frac{t^{3}}{3}-t\right) \hat{\imath}
onde t está em segundos e \vec{r} em metros. Considere t \geq 0.
(a) Determine a velocidade \vec{v}(t).
(b) Em que instante(s), se houver, a velocidade da partícula é nula?
(c) Para quais intervalos de tempo a velocidade é negativa? E para quais é positiva?
(d) No instante t=0,5 \mathrm{~s}, a partícula está se movendo no sentido positivo ou negativo do eixo x ?
(e) Determine a rapidez no instante t=0,5 \mathrm{~s}.
(f) Determine a aceleração \vec{a}(t).
(g) A rapidez da partícula está aumentando ou diminuindo no instante t=0,5 \mathrm{~s} ?
(h) Em que instante(s) a aceleração da partícula é nula?
(i) Para quais intervalos de tempo a aceleração é negativa? E para quais é positiva?

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula ao longo do eixo x:
\vec{r}(t)=\left(\frac{t^{3}}{3}-t\right)\hat{\imath},
com t em segundos, \vec{r} em metros e domínio t\ge 0.
As perguntas são:
(a) determinar \vec{v}(t);
(b) achar os instantes em que a velocidade é nula;
(c) para quais intervalos de t a velocidade é negativa e para quais é positiva;
(d) no instante t=0,5\\ \mathrm{s}, o movimento é no sentido positivo ou negativo de x?
(e) determinar a rapidez no instante t=0,5\\ \mathrm{s};
(f) determinar \vec{a}(t);
(g) indicar se a rapidez está aumentando ou diminuindo em t=0,5\\ \mathrm{s};
(h) instantes em que a aceleração é nula;
(i) intervalos em que a aceleração é negativa e em que é positiva.

Passo 2

Lembrete rápido sobre derivadas (porque velocidade e aceleração são derivadas da posição):
  • A velocidade vetorial é a derivada da posição em relação ao tempo: \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}.
  • A aceleração vetorial é a derivada da velocidade: \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\dfrac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}.
Regra usada: a derivada de t^{n} é n t^{n-1}. Aqui temos soma de termos simples, então derivamos termo a termo.

Passo 3

Calcular a velocidade \vec{v}(t) derivando \vec{r}(t):
\vec{r}(t)=\left(\frac{t^{3}}{3}-t\right)\hat{\imath}.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{t^{3}}{3}\right)=t^{2}, \qquad \frac{d}{dt}(-t)=-1.
Portanto
\vec{v}(t)=\left(t^{2}-1\right)\hat{\imath}.
Unidade: \mathrm{m/s}. Isto responde (a).

Passo 4

Para achar quando a velocidade é nula (pergunta (b)), resolvemos
\vec{v}(t)=\vec{0}\quad\Longrightarrow\quad t^{2}-1=0.
Fatorando:
t^{2}-1=(t-1)(t+1)=0,
as raízes são t=1 e t=-1. Mas o domínio é t\ge 0, então o único instante válido é
t=1\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Agora determinamos o sinal de \vec{v}(t) (pergunta (c)). Como \vec{v}(t) está ao longo de \hat{\imath}, basta analisar o sinal da função escalar v(t)=t^{2}-1.
  • Para 0\le t<1: tem-se t^{2}<1\Rightarrow t^{2}-1<0. Logo v(t)<0 (velocidade negativa).
  • Em t=1: v(1)=0.
  • Para t>1: t^{2}>1\Rightarrow t^{2}-1>0. Logo v(t)>0 (velocidade positiva).
Em notação:
  • Velocidade negativa para 0\le t<1.
  • Velocidade nula em t=1.
  • Velocidade positiva para t>1.

Passo 6

Responder (d): no instante t=0,5\\ \mathrm{s} (ou seja t=0,5), calculamos
v(0,5)=(0,5)^{2}-1=0,25-1=-0,75.
Como v(0,5)<0, a partícula está se movendo no sentido negativo do eixo x.

Passo 7

Responder (e): rapidez é o valor absoluto da velocidade escalar (módulo da velocidade vetorial). Em geral:
\text{rapidez } s(t)=\left|v(t)\right|=\left|t^{2}-1\right|.
No instante t=0,5:
s(0,5)=\left|v(0,5)\right|=\left|-0,75\right|=0,75\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Calcular a aceleração (pergunta (f)) derivando \vec{v}(t):
v(t)=t^{2}-1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dv}{dt}=2t.
Portanto
\vec{a}(t)=2t\\ \hat{\imath}.
Unidade: \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 9

Responder (g): para saber se a rapidez está aumentando ou diminuindo, usamos o seguinte critério simples e muito útil:
  • Se v(t) e a(t) têm o mesmo sinal, a rapidez aumenta (aceleração no mesmo sentido do movimento).
  • Se têm sinais opostos, a rapidez diminui (aceleração oposta ao movimento).
    No instante t=0,5:
v(0,5)=-0,75\quad(\text{negativo}),\qquad a(0,5)=2(0,5)=1\quad(\text{positivo}).
Sinais opostos (velocidade negativa, aceleração positiva) ⇒ a rapidez está diminuindo em t=0,5\\ \mathrm{s}. Intuição física: a partícula se move para o lado negativo, mas a aceleração aponta para o lado positivo, então ela desacelera.

Passo 10

Responder (h): achar instantes em que \vec{a}(t)=\vec{0}:
\vec{a}(t)=2t\hat{\imath}=\vec{0}\quad\Longrightarrow\quad 2t=0\Rightarrow t=0.
No domínio dado t\ge 0, o único instante é t=0.

Passo 11

Responder (i): analisar o sinal de a(t)=2t no domínio t\ge 0:
  • Para t>0: 2t>0 ⇒ aceleração positiva.
  • Em t=0: aceleração nula.
  • Para t<0 (fora do domínio pedido) seria negativa, mas o enunciado restringe a t\ge 0, então dentro do domínio não há intervalo com aceleração negativa.
Resumo:
  • Aceleração negativa: nenhum t em t\ge 0.
  • Aceleração positiva: para t>0.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{v}(t)=\left(t^{2}-1\right)\hat{\imath}
(b) t=1\\ \mathrm{s}
(c) velocidade negativa para 0\le t<1; velocidade nula em t=1; velocidade positiva para t>1
(d) a partícula está se movendo no sentido negativo do eixo x em t=0,5\\ \mathrm{s}
(e) rapidez em t=0,5\\ \mathrm{s}: 0,75\\ \mathrm{m/s}
(f) \displaystyle \vec{a}(t)=2t\\ \hat{\imath}
(g) a rapidez está diminuindo em t=0,5\\ \mathrm{s}
(h) t=0
(i) aceleração negativa: nenhum t em t\ge 0; aceleração positiva para t>0

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