Questões 3 e 4:
Uma partícula de massa m=1,00 \mathrm{~kg} desloca-se em um plano. O vetor posição da partícula (em metros) em função do tempo t (em segundos) é dado por
\vec{r}(t)=\left(2,00 t-2,00 t^{2}\right) \hat{\imath}+\left(1,00-2,00 t^{2}+\frac{1}{3} t^{3}\right) \hat{\jmath},
em que
\hat{\imath} e
\hat{\jmath} são, respectivamente, os vetores unitários ao longo dos eixos
x
horizontal e
y
vertical.
Questão 4 ( 1,0 ponto): Qual é o módulo da força resultante sobre a partícula para t=2,0 \mathrm{~s} ?
(a) \sqrt{32} \mathrm{~N}
(b) \sqrt{20} \mathrm{~N}
(c) \sqrt{16} \mathrm{~N}
(d) \sqrt{25} \mathrm{~N}
(e) \sqrt{17} \mathrm{~N}
(f) \sqrt{52} \mathrm{~N}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Massa da partícula: m=1{,}00\\ \mathrm{kg}.
  • Vetor posição:
\vec{r}(t)=\bigl(2{,}00\,t-2{,}00\,t^{2}\bigr)\hat{\imath}+\bigl(1{,}00-2{,}00\,t^{2}+\tfrac{1}{3}t^{3}\bigr)\hat{\jmath}.
  • O instante em que devemos avaliar é t=2{,}0\\ \mathrm{s}.
O que a questão pede:
  • Determinar o módulo da força resultante sobre a partícula para t=2{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Precisamos da aceleração em t=2{,}0\\ \mathrm{s}. A aceleração é a segunda derivada temporal do vetor posição. Primeiro calculemos as componentes da velocidade derivando cada componente de \vec{r}(t).
A componente x da posição é \,r_x(t)=2{,}00\,t-2{,}00\,t^{2}.
Usando a regra do poder (derivada de a t^{n} é a n t^{n-1}), temos a velocidade v_x(t)=\dfrac{d}{dt}r_x(t):
v_x(t)=2{,}00-4{,}00\,t.
A componente y da posição é \,r_y(t)=1{,}00-2{,}00\,t^{2}+\tfrac{1}{3}t^{3}.
Derivando:
v_y(t)=\dfrac{d}{dt}r_y(t)=-4{,}00\,t+t^{2}.

Passo 3

Agora derivamos as componentes da velocidade para obter a aceleração. A componente x da aceleração é
a_x(t)=\dfrac{d}{dt}v_x(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(2{,}00-4{,}00\,t\bigr)=-4{,}00.
Observação: a_x(t) é constante e igual a -4{,}00\\ \mathrm{m/s^{2}}.
A componente y da aceleração é
a_y(t)=\dfrac{d}{dt}v_y(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(-4{,}00\,t+t^{2}\bigr)=-4{,}00+2t.

Passo 4

Avaliaremos a aceleração em t=2{,}0\\ \mathrm{s}.
Para a_x:
a_x(2{,}0)=-4{,}00\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Para a_y:
a_y(2{,}0)=-4{,}00+2\cdot2{,}0=-4{,}00+4{,}00=0{,}00\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Portanto \vec{a}(2{,}0)=(-4{,}00\,,\,0{,}00)\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Aplicamos a segunda lei de Newton: \vec{F}=m\vec{a}. Como m=1{,}00\\ \mathrm{kg},
\vec{F}(2{,}0)=1{,}00\cdot(-4{,}00\,,\,0{,}00)=(-4{,}00\,,\,0{,}00)\\ \mathrm{N}.

Passo 6

O módulo da força é a norma do vetor \vec{F}:
|\vec{F}|=\sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}}=\sqrt{(-4{,}00)^{2}+0^{2}}=\sqrt{16{,}00}=4{,}00\\ \mathrm{N}.
Comparando com as alternativas, 4{,}00\\ \mathrm{N}=\sqrt{16}\\ \mathrm{N}, que corresponde à alternativa (c).

Resposta

(c) \sqrt{16}\\ \mathrm{N}=4{,}00\\ \mathrm{N}

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