Exercício 3. Se os pontos A, B e C pertencem a mesma reta e \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}, verifique que A, B, C e D são vértices de um paralelogramo.

Passo 1

O que o enunciado dá:
  • Os pontos A, B e C pertencem à mesma reta.
  • Está dada a igualdade vetorial \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}.
O que o enunciado pede:
  • Verificar que A, B, C e D são vértices de um paralelogramo (ou seja, mostrar que o quadrilátero formado por esses pontos tem pares de lados opostos paralelos e de mesmo comprimento).

Passo 2

Vamos representar cada ponto por seu vetor posição no plano (ou no espaço), isto é:
\vec{a},\quad \vec{b},\quad \vec{c},\quad \vec{d}
são, respectivamente, os vetores posição de A,B,C,D.
Regra básica que usaremos (expliquei devagar):
  • O vetor que vai de um ponto X para um ponto Y é dado por \overrightarrow{XY}=\vec{y}-\vec{x}.
    Exemplo: \overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a} e \overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b}.
  • Dois vetores são iguais quando têm mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento. Em termos de coordenadas, isso significa igualdade dos seus componentes; em termos de vetores posição, significa igualdade das diferenças: \overrightarrow{XY}=\overrightarrow{ZW} se, e somente se, \vec{y}-\vec{x}=\vec{w}-\vec{z}.
Definição usada para paralelogramo:
  • Um quadrilátero é um paralelogramo se ambos os pares de lados opostos são paralelos e congruentes (ou equivalentemente, se os vetores de um par de lados opostos são iguais).

Passo 3

Usando a igualdade dada, escrevemos em termos dos vetores posição:
\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\quad\Longrightarrow\quad \vec{d}-\vec{a}=\vec{c}-\vec{b}.
Agora rearranjamos essa igualdade somando \vec{a}+\vec{b} em ambos os lados:
\vec{d}-\vec{a}=\vec{c}-\vec{b} \quad\Longrightarrow\quad \vec{b}-\vec{a}=\vec{c}-\vec{d}.
Observe que \vec{b}-\vec{a}=\overrightarrow{AB} e \vec{c}-\vec{d}=\overrightarrow{DC}. Portanto obtivemos:
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.

Passo 4

Interpretação geométrica das duas igualdades que já temos:
  • \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} diz que os vetores dos lados AD e BC são iguais: esses lados são paralelos, têm o mesmo sentido e o mesmo comprimento.
  • \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} diz que os vetores dos lados AB e DC são iguais: esses lados também são paralelos, têm o mesmo sentido e o mesmo comprimento.
Assim, ambos os pares de lados opostos do quadrilátero A B C D são paralelos e congruentes. Pela definição isso significa que A,B,C,D são vértices de um paralelogramo.

Resposta

Os pontos A, B, C e D são vértices de um paralelogramo.

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