Exercício 1. Classifique as afirmações abaixo estão em verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique a sua resposta.
Três vetores coplanares são sempre colineares.

Passo 1

O enunciado pede que classifiquemos a afirmação “Três vetores coplanares são sempre colineares” como verdadeira (V) ou falsa (F) e que justifiquemos a resposta.
Informações dadas: a afirmação refere-se a três vetores quaisquer e usa os termos “coplanares” e “colineares”.

Passo 2

Primeiro, vamos definir claramente os termos, devagarinho, como se estivéssemos desenhando no caderno.
Definição de coplanar: Um conjunto de vetores é dito coplanar quando todos eles podem ser representados em um mesmo plano. Em álgebra vetorial, para três vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} no espaço \mathbb{R}^3, uma forma prática de testar coplanaridade é usar o produto misto (produto escalar do primeiro pelo produto vetorial dos outros): se
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=0,
então os três vetores estão no mesmo plano (ou algum é o vetor zero). Vou explicar o que isso significa: o produto vetorial \mathbf{b}\times\mathbf{c} dá um vetor perpendicular ao plano gerado por \mathbf{b} e \mathbf{c}; então se \mathbf{a} é ortogonal a esse vetor (produto escalar zero), \mathbf{a} está no mesmo plano.
Definição de colinear: Um conjunto de vetores é colinear quando todos estão sobre a mesma reta (ou, em termos de vetores livres, cada vetor é múltiplo escalar de um vetor fixo). Para dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v}, isso quer dizer que existe k\in\mathbb{R} tal que \mathbf{u}=k\mathbf{v}. Para três vetores, todos devem ser múltiplos do mesmo vetor-direção.
Observação intuitiva rápida: colinear é uma condição mais forte que coplanar — se três vetores são colineares, então estão todos na mesma reta, e essa reta está contida em infinitos planos, logo eles são coplanares. A pergunta é justamente se o recíproco vale (se coplanar implica colinear).

Passo 3

Ideia do teste: para mostrar que a afirmação é falsa basta dar um contraexemplo: encontrar três vetores que sejam coplanares mas não sejam colineares. Vou construir vetores simples no plano xy (ou seja, terceiro componente zero), porque todos esses vetores certamente estão no mesmo plano z=0 — então são coplanares — e em seguida mostrar que não são todos múltiplos entre si (logo não são colineares).

Passo 4

Escolha dos vetores (tudo em \mathbb{R}^3):
\mathbf{u}=(1,0,0),\qquad \mathbf{v}=(0,1,0),\qquad \mathbf{w}=(1,1,0).
Intuição: \mathbf{u} aponta para o eixo x, \mathbf{v} aponta para o eixo y, e \mathbf{w} aponta na direção x+y. Todos estão no plano z=0.

Passo 5

Mostrando que são coplanares. Vamos calcular o produto misto \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}). Primeiro o produto vetorial:
\mathbf{v}\times\mathbf{w} = (0,1,0)\times(1,1,0) = (0,0,-1).
Agora o produto escalar com \mathbf{u}:
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) = (1,0,0)\cdot(0,0,-1) = 0.
Como o produto misto é zero, isso confirma que \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} são coplanares (efetivamente estão todos no plano z=0). Também é óbvio geometricamente: todos têm terceira componente zero.

Passo 6

Mostrando que NÃO são colineares. Para que fossem colineares, cada um deveria ser múltiplo escalar de um mesmo vetor-direção. Veja que \mathbf{u}=(1,0,0) e \mathbf{v}=(0,1,0) não são múltiplos um do outro: se existisse k com \mathbf{u}=k\mathbf{v}, então a primeira componente daria 1=k\cdot 0, o que é impossível. Logo \mathbf{u} e \mathbf{v} não estão na mesma reta; portanto os três vetores não são todos colineares. Em palavras simples: \mathbf{u} aponta para a direita, \mathbf{v} para cima — não há uma única linha que contenha ambos.

Passo 7

Conclusão e dica para prova: encontramos três vetores que são coplanares mas não são colineares, portanto a afirmação “Três vetores coplanares são sempre colineares” é falsa. Dica rápida para a prova: lembre que colinearidade implica coplanaridade, mas o contrário não vale em geral; para construir contraexemplo, escolha dois vetores linearmente independentes (por exemplo (1,0,0) e (0,1,0)) e mais um vetor no mesmo plano (por exemplo (1,1,0)).

Resposta

F

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