Exercício 1. Classifique as afirmações abaixo estão em verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique a sua resposta.
Três vetores coplanares são sempre colineares.
Três vetores coplanares são sempre colineares.
Passo 1
O enunciado pede que classifiquemos a afirmação “Três vetores coplanares são sempre colineares” como verdadeira (V) ou falsa (F) e que justifiquemos a resposta.
Informações dadas: a afirmação refere-se a três vetores quaisquer e usa os termos “coplanares” e “colineares”.
Informações dadas: a afirmação refere-se a três vetores quaisquer e usa os termos “coplanares” e “colineares”.
Passo 2
Primeiro, vamos definir claramente os termos, devagarinho, como se estivéssemos desenhando no caderno.
Definição de coplanar: Um conjunto de vetores é dito coplanar quando todos eles podem ser representados em um mesmo plano. Em álgebra vetorial, para três vetores
no espaço
, uma forma prática de testar coplanaridade é usar o produto misto (produto escalar do primeiro pelo produto vetorial dos outros): se
então os três vetores estão no mesmo plano (ou algum é o vetor zero). Vou explicar o que isso significa: o produto vetorial
dá um vetor perpendicular ao plano gerado por
e
; então se
é ortogonal a esse vetor (produto escalar zero),
está no mesmo plano.
Definição de colinear: Um conjunto de vetores é colinear quando todos estão sobre a mesma reta (ou, em termos de vetores livres, cada vetor é múltiplo escalar de um vetor fixo). Para dois vetores
e
, isso quer dizer que existe
tal que
. Para três vetores, todos devem ser múltiplos do mesmo vetor-direção.
Observação intuitiva rápida: colinear é uma condição mais forte que coplanar — se três vetores são colineares, então estão todos na mesma reta, e essa reta está contida em infinitos planos, logo eles são coplanares. A pergunta é justamente se o recíproco vale (se coplanar implica colinear).
Passo 3
Ideia do teste: para mostrar que a afirmação é falsa basta dar um contraexemplo: encontrar três vetores que sejam coplanares mas não sejam colineares. Vou construir vetores simples no plano
(ou seja, terceiro componente zero), porque todos esses vetores certamente estão no mesmo plano
— então são coplanares — e em seguida mostrar que não são todos múltiplos entre si (logo não são colineares).
Passo 4
Escolha dos vetores (tudo em
):
Intuição:
aponta para o eixo
,
aponta para o eixo
, e
aponta na direção
. Todos estão no plano
.
Passo 5
Mostrando que são coplanares. Vamos calcular o produto misto
. Primeiro o produto vetorial:
Agora o produto escalar com
:
Como o produto misto é zero, isso confirma que
são coplanares (efetivamente estão todos no plano
). Também é óbvio geometricamente: todos têm terceira componente zero.
Passo 6
Mostrando que NÃO são colineares. Para que fossem colineares, cada um deveria ser múltiplo escalar de um mesmo vetor-direção. Veja que
e
não são múltiplos um do outro: se existisse
com
, então a primeira componente daria
, o que é impossível. Logo
e
não estão na mesma reta; portanto os três vetores não são todos colineares. Em palavras simples:
aponta para a direita,
para cima — não há uma única linha que contenha ambos.
Passo 7
Conclusão e dica para prova: encontramos três vetores que são coplanares mas não são colineares, portanto a afirmação “Três vetores coplanares são sempre colineares” é falsa. Dica rápida para a prova: lembre que colinearidade implica coplanaridade, mas o contrário não vale em geral; para construir contraexemplo, escolha dois vetores linearmente independentes (por exemplo
e
) e mais um vetor no mesmo plano (por exemplo
).
Resposta
F