Exercício 2. Numa população, o nível sérico de colesterol em adultos (medido em mg/dl) é uma variável aleatória com distribuição normal com parâmetros
e
. Calcule:
a) a proporção de pessoas com nível de colesterol entre 200 e 350 .
b) o valor acima do qual se encontra o colesterol da parcela de 10
a) a proporção de pessoas com nível de colesterol entre 200 e 350 .
b) o valor acima do qual se encontra o colesterol da parcela de 10
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
- Informação: o nível sérico de colesterol
em adultos segue uma distribuição normal com média e desvio padrão . - Pergunta (a): calcular a proporção de pessoas com nível de colesterol entre
e . Ou seja, calcular . - Pergunta (b): encontrar o valor acima do qual se encontra o colesterol da parcela de
(ou seja, o valor tal que os mais altos têm colesterol acima desse valor).
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
- Para trabalhar com uma normal geral
é muito útil transformar para a normal padrão usando a padronização
Aqui
é a média e
é o desvio padrão; essa fórmula converte qualquer valor
em um
que indica quantos desvios-padrão
está da média.
- Probabilidades como
viram . - A função de distribuição acumulada da normal padrão é
. Usamos tabelas (ou calculadora) para obter . A propriedade de simetria é útil:
- Para percentis: se quisermos o valor
tal que , primeiro encontramos tal que e depois
Passo 3
Aplicando a padronização ao item (a):
Calculo dos
-scores dos extremos
e
:
Portanto
Passo 4
Como obter os valores de
:
-
Usamos uma tabela da normal padrão (ou calculadora). Pela propriedade de simetria
. -
Consultando a tabela (interpolando entre valores da tabela para mais precisão):
-
. (Explicação rápida da interpolação: , ; para fazemos interpolação linear e obtemos aproximadamente .) -
. (Explicação rápida: , ; interpolando para dá cerca de .)
-
Passo 5
Calcular a probabilidade pedida (continuando a conta do Passo 3 com os valores do Passo 4):
Substituindo os valores aproximados:
Interpretação: aproximadamente
da população tem colesterol entre
e
.
Passo 6
Resolvendo o item (b) — encontrar o valor acima do qual está a parcela de
:
- Queremos
tal que . Isso é equivalente a . - Procuramos
tal que . Pela tabela, . - Usamos a fórmula do percentil:
Passo 7
Cálculo final do item (b):
Calculemos o produto:
Portanto
Interpretação: aproximadamente
é o valor acima do qual estão os
com maior colesterol.
Resposta
a)
(aprox.
)
b)
b)