Exercício 2. Numa população, o nível sérico de colesterol em adultos (medido em mg/dl) é uma variável aleatória com distribuição normal com parâmetros \mu=225 e \sigma=75. Calcule:
a) a proporção de pessoas com nível de colesterol entre 200 e 350 .
b) o valor acima do qual se encontra o colesterol da parcela de 10

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informação: o nível sérico de colesterol X em adultos segue uma distribuição normal com média \mu=225 e desvio padrão \sigma=75.
  • Pergunta (a): calcular a proporção de pessoas com nível de colesterol entre 200 e 350. Ou seja, calcular P(200 < X < 350).
  • Pergunta (b): encontrar o valor acima do qual se encontra o colesterol da parcela de 10\% (ou seja, o valor tal que os 10\% mais altos têm colesterol acima desse valor).

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Para trabalhar com uma normal geral X\sim N(\mu,\sigma) é muito útil transformar para a normal padrão Z\sim N(0,1) usando a padronização
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui \mu é a média e \sigma é o desvio padrão; essa fórmula converte qualquer valor x em um z que indica quantos desvios-padrão x está da média.
  • Probabilidades como P(a<X<b) viram P\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}<Z<\frac{b-\mu}{\sigma}\right).
  • A função de distribuição acumulada da normal padrão é \Phi(z)=P(Z\le z). Usamos tabelas (ou calculadora) para obter \Phi. A propriedade de simetria é útil:
\Phi(-z)=1-\Phi(z).
  • Para percentis: se quisermos o valor x_p tal que P(X\le x_p)=p, primeiro encontramos z_p tal que \Phi(z_p)=p e depois
x_p=\mu+z_p\cdot\sigma.

Passo 3

Aplicando a padronização ao item (a):
Calculo dos z-scores dos extremos 200 e 350:
z_1=\frac{200-225}{75}=-\frac{25}{75}=-\frac{1}{3}\approx-0,3333,
z_2=\frac{350-225}{75}=\frac{125}{75}=\frac{5}{3}\approx1,6667.
Portanto
P(200<X<350)=P\left(-\tfrac{1}{3}<Z<\tfrac{5}{3}\right)=\Phi\!\left(\tfrac{5}{3}\right)-\Phi\!\left(-\tfrac{1}{3}\right).

Passo 4

Como obter os valores de \Phi:
  • Usamos uma tabela da normal padrão (ou calculadora). Pela propriedade de simetria \Phi(-0,3333)=1-\Phi(0,3333).
  • Consultando a tabela (interpolando entre valores da tabela para mais precisão):
    • \Phi(0,3333)\approx0,6306. (Explicação rápida da interpolação: \Phi(0,33)=0,6293, \Phi(0,34)=0,6331; para 0,3333 fazemos interpolação linear e obtemos aproximadamente 0,6306.)
    • \Phi(1,6667)\approx0,9522. (Explicação rápida: \Phi(1,66)=0,9515, \Phi(1,67)=0,9525; interpolando para 1,6667 dá cerca de 0,9522.)

Passo 5

Calcular a probabilidade pedida (continuando a conta do Passo 3 com os valores do Passo 4):
P(200<X<350)=\Phi\!\left(\tfrac{5}{3}\right)-\big(1-\Phi(0,3333)\big)=\Phi\!\left(\tfrac{5}{3}\right)+\Phi(0,3333)-1.
Substituindo os valores aproximados:
P(200<X<350)\approx 0,9522+0,6306-1=0,5828\\ (\text{arredondando}) .
Interpretação: aproximadamente 58,28\% da população tem colesterol entre 200 e 350\\ \text{mg/dl}.

Passo 6

Resolvendo o item (b) — encontrar o valor acima do qual está a parcela de 10\%:
  • Queremos x tal que P(X>x)=0,10. Isso é equivalente a P(X\le x)=0,90.
  • Procuramos z_{0,90} tal que \Phi(z_{0,90})=0,90. Pela tabela, z_{0,90}\approx1,2816.
  • Usamos a fórmula do percentil:
x_{0,90}=\mu+z_{0,90}\cdot\sigma.

Passo 7

Cálculo final do item (b):
x_{0,90}=225+1,2816\cdot75.
Calculemos o produto:
1,2816\cdot75=1,2816\cdot(3\cdot25)= (1,2816\cdot75)\approx96,12.
Portanto
x_{0,90}\approx225+96,12=321,12\\ \text{mg/dl}.
Interpretação: aproximadamente 321,12\\ \text{mg/dl} é o valor acima do qual estão os 10\% com maior colesterol.

Resposta

a) 0,5828 (aprox. 58,28\%)
b) 321,12\\ \text{mg/dl}

Exercícios relacionados