Dada a amostra: 3,4,4,5,7,6,6,7,7,4,5,5,6,6,7,5,8,5,6, pede-se:
a) construir a distribuição de frequência; b) construir o gráfico das frequências; c) determinar as frequências relativas; d) determinar as frequências acumuladas; e) qual é a amplitude amostral; f) qual a porcentagem de elementos maiores que 5 .

Passo 1

O enunciado fornece a amostra e pede seis coisas (a–f). Vou listar explicitamente o que foi pedido e os dados fornecidos.
Dados da amostra (dados tal como foram dados no enunciado):
3,4,4,5,7,6,6,7,7,4,5,5,6,6,7,5,8,5,6
Perguntas:
a) construir a distribuição de frequência;
b) construir o gráfico das frequências;
c) determinar as frequências relativas;
d) determinar as frequências acumuladas;
e) qual é a amplitude amostral;
f) qual a porcentagem de elementos maiores que 5.
Observação: o total de observações é o número de elementos da amostra; vamos usar isso em todos os cálculos.

Passo 2

Contar quantas observações temos e ordenar/contabilizar os valores (passo a passo, bem mastigado).
  1. Primeiro contamos quantas observações há no total. Contando os termos da amostra temos n=19.
  2. Agora identificamos os valores distintos e contamos suas ocorrências (faço isso listando os valores e tallies):
  • Valor 3: aparece 1 vez.
  • Valor 4: aparece 3 vezes.
  • Valor 5: aparece 5 vezes.
  • Valor 6: aparece 5 vezes.
  • Valor 7: aparece 4 vezes.
  • Valor 8: aparece 1 vez.
Verificação rápida: 1+3+5+5+4+1=19, que bate com n=19. Isso confirma que as contagens estão corretas.

Passo 3

Construir a distribuição de frequência (tabela de frequências absoluta). Explico o que é: a frequência absoluta f_i de um valor é simplesmente quantas vezes esse valor aparece na amostra.
Tabela (valor — frequência absoluta f_i):
\begin{array}{c|c} \text{Valor }x_i & f_i \\\ \hline 3 & 1\\\\ 4 & 3\\\\ 5 & 5\\\\ 6 & 5\\\\ 7 & 4\\\\ 8 & 1 \end{array}
Isto responde a) (a distribuição de frequência no formato de tabela). Para a prova você pode apresentar essa tabela como resposta a) ou desenhar as colunas de uma tabela idêntica.

Passo 4

Construir o gráfico das frequências (b). Explico como fazer e dou os pontos exatos para desenhar.
  • Para dados discretos como estes, o gráfico mais apropriado é um gráfico de barras (bar chart): no eixo horizontal colocamos os valores \{3,4,5,6,7,8\} e no eixo vertical colocamos as frequências absolutas f_i.
  • As alturas das barras devem ser, respectivamente, 1,3,5,5,4,1.
Pontos / pares para plotar as alturas das barras (x, altura):
(3,1),\\ (4,3),\\ (5,5),\\ (6,5),\\ (7,4),\\ (8,1).
Como desenhar na prova sem calculadora: traçar os eixos, marcar 0 a 6 no eixo vertical (já que a maior frequência é 5), e desenhar uma barra centrada em cada inteiro x_i com a altura acima. Coloque rótulos nas barras com os valores f_i se quiser ficar mais claro.

Passo 5

Determinar as frequências relativas (c). Vou ensinar o conceito e calcular passo a passo.
Conceito: a frequência relativa h_i de um valor é a fração da amostra que tem esse valor. A fórmula é
h_i=\frac{f_i}{n},
onde f_i é a frequência absoluta e n é o tamanho da amostra.
Calculando para cada valor (vou dar a fração, o decimal aproximado com 4 casas decimais e a porcentagem com duas casas):
  • Para x=3: f=1, \displaystyle h=\frac{1}{19}\approx 0,0526 \Rightarrow 5,26\%.
  • Para x=4: f=3, \displaystyle h=\frac{3}{19}\approx 0,1579 \Rightarrow 15,79\%.
  • Para x=5: f=5, \displaystyle h=\frac{5}{19}\approx 0,2632 \Rightarrow 26,32\%.
  • Para x=6: f=5, \displaystyle h=\frac{5}{19}\approx 0,2632 \Rightarrow 26,32\%.
  • Para x=7: f=4, \displaystyle h=\frac{4}{19}\approx 0,2105 \Rightarrow 21,05\%.
  • Para x=8: f=1, \displaystyle h=\frac{1}{19}\approx 0,0526 \Rightarrow 5,26\%.
Cheque mental: as frequências relativas somam 1 (ou 100\%). Soma das porcentagens: 5,26+15,79+26,32+26,32+21,05+5,26\approx100{,}00\%.

Passo 6

Determinar as frequências acumuladas (d). Vou explicar o que é e calcular.
Conceito: a frequência acumulada absoluta F_i até um valor x_i é a soma das frequências absolutas de todos os valores menores ou iguais a x_i. A frequência acumulada relativa é a soma das frequências relativas correspondentes.
Calculando em ordem crescente:
  • Para x=3: F=1. Frequência relativa acumulada H=\dfrac{1}{19}\approx 0,0526.
  • Para x=4: F=1+3=4. H=\dfrac{4}{19}\approx 0,2105.
  • Para x=5: F=4+5=9. H=\dfrac{9}{19}\approx 0,4737.
  • Para x=6: F=9+5=14. H=\dfrac{14}{19}\approx 0,7368.
  • Para x=7: F=14+4=18. H=\dfrac{18}{19}\approx 0,9474.
  • Para x=8: F=18+1=19. H=\dfrac{19}{19}=1{,}0000.
Em tabela resumida (valor — f_i F_i h_i H_i):
\begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & f_i & F_i & h_i & H_i\\\ \hline 3 & 1 & 1 & 0,0526 & 0,0526\\\\ 4 & 3 & 4 & 0,1579 & 0,2105\\\\ 5 & 5 & 9 & 0,2632 & 0,4737\\\\ 6 & 5 & 14 & 0,2632 & 0,7368\\\\ 7 & 4 & 18 & 0,2105 & 0,9474\\\\ 8 & 1 & 19 & 0,0526 & 1,0000 \end{array}

Passo 7

Calcular a amplitude amostral (e). Conceito e cálculo.
Conceito: a amplitude amostral (também chamada amplitude) é a diferença entre o maior e o menor valor observados na amostra:
\text{Amplitude} = \max(x_i)-\min(x_i).
Na amostra o menor valor é 3 e o maior é 8. Assim:
\text{Amplitude} = 8-3=5.

Passo 8

Calcular a porcentagem de elementos maiores que 5 (f). Procedimento e resultado.
Passo 1: identifique os elementos maiores que 5: esses são os valores 6,7,8.
Passo 2: conte quantas observações têm esses valores: f(6)=5, f(7)=4, f(8)=1. Soma 5+4+1=10.
Passo 3: converta em porcentagem:
\text{Porcentagem}=\frac{10}{19}\times 100\%\approx 52{,}63\%.
Também podemos deixar exato como fração: \dfrac{10}{19}\approx 0{,}5263 (ou 52{,}63\%).

Passo 9

Resumo rápido de “como apresentar isso numa prova” (dica prática):
  • Apresente a tabela de frequências (valor, f_i, h_i, F_i, H_i) organizada; isso responde a (a), (c) e (d) de uma vez.
  • Desenhe um gráfico de barras com os pares (x_i,f_i) para (b).
  • Para (e) e (f) escreva as fórmulas curtas e o cálculo direto que fizemos.

Resposta

a) Tabela de frequência (valor — frequência absoluta): 3:1,\\\ 4:3,\\\ 5:5,\\\ 6:5,\\\ 7:4,\\\ 8:1.
b) Gráfico de barras com pares (3,1),(4,3),(5,5),(6,5),(7,4),(8,1) (barras nos valores 3 a 8 com essas alturas).
c) Frequências relativas: 3:\dfrac{1}{19}\approx0,0526,\\\ 4:\dfrac{3}{19}\approx0,1579,\\\ 5:\dfrac{5}{19}\approx0,2632,\\\ 6:\dfrac{5}{19}\approx0,2632,\\\ 7:\dfrac{4}{19}\approx0,2105,\\\ 8:\dfrac{1}{19}\approx0,0526.
d) Frequências acumuladas absolutas e relativas: 3:(1,\\\ 0,0526),\\\ 4:(4,\\\ 0,2105),\\\ 5:(9,\\\ 0,4737),\\\ 6:(14,\\\ 0,7368),\\\ 7:(18,\\\ 0,9474),\\\ 8:(19,\\\ 1{,}0000).
e) Amplitude amostral: 8-3=5.
f) Porcentagem de elementos maiores que 5: \dfrac{10}{19}\times100\%\approx52{,}63\%.

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