Considere os dados obtidos pelas medidas das alturas de 100 individuo: (dadas em cm ):
\begin{aligned} & 151-152-154-155-158-159-159-160-161-161 \\\ & 161-162-163-163-163-164-165-165-165-166 \\\ & 166-166-166-167-167-167-167-167-168-168 \\\ & 168-168-168-168-168-168-168-168-169-169 \\\ & 169-169-169-169-169-170-170-170-170-170 \\\ & 170-170-171-171-171-171-172-172-172-173 \\\ & 173-173-174-174-174-175-175-175-175-176 \\\ & 176-176-176-177-177-177-177-178-178-178 \\\ & 179-179-180-180-180-180-181-181-181-182 \\\ & 182-182-183-184-185-186-187-188-190-190 \end{aligned}
Pede-se determinar:
a) a amplitude amostral; b) o número de classes; c) a amplitude das classes; d) os limites das classes; e) as frequências absolutas das classes; f) as frequências relativas; g) os pontos médios das classes; h) a frequência acumulada; i) o histograma - polígono de frequência; i) os gráficos de frequência acumulada.

Passo 1

O enunciado fornece as alturas (em cm) de 100 indivíduos, listadas em ordem não-necessariamente agrupada, e pede várias análises de organização e visualização dos dados. Perguntas que temos de responder (uma por uma):
a) a amplitude amostral;
b) o número de classes;
c) a amplitude (largura) das classes;
d) os limites das classes;
e) as frequências absolutas das classes;
f) as frequências relativas;
g) os pontos médios das classes;
h) a frequência acumulada;
i) o histograma e o polígono de frequência;
i) os gráficos de frequência acumulada.
Informações fornecidas (peguei os números diretamente do enunciado): lista das 100 alturas (em cm) — os valores mínimos e máximos aparecem na lista e serão usados diretamente nos cálculos a seguir.

Passo 2

Calcular a amplitude amostral (intervalo: maior menos menor). Definição: a amplitude é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo observados. Vou identificar o menor e o maior valor na lista (peguei-os da lista fornecida):
  • menor valor = 151 cm, pois aparece na lista;
  • maior valor = 190 cm, pois aparece na lista.
Então a amplitude amostral é
\text{amplitude} = \text{máximo} - \text{mínimo} = 190 - 151 = 39\\ \text{cm}.áí

Passo 3

Escolher o número de classes k. Não foi especificado no enunciado um método — vou usar a regra de Sturges (método clássico e simples para amostras como esta). A regra de Sturges diz:
k \approx 1 + \log_{2}(n),
onde n é o tamanho da amostra ( n=100). Calculando:
1 + \log_{2}(100) \approx 1 + 6{,}6439 \approx 7{,}6439.
Arredondamos para um inteiro prático. Vou escolher k=8 classes (escolha comum: arredonda para cima ou para o inteiro mais próximo; 8 é conveniente aqui). Obs.: outra regra simples seria k\approx\sqrt{n}=10, mas k=8 com a regra de Sturges é perfeitamente aceitável e dá classes com largura manejável.

Passo 4

Determinar a amplitude (largura) das classes h. Fórmula básica:
h \approx \frac{\text{amplitude}}{k} = \frac{39}{8} = 4{,}875.
Como é prático trabalhar com intervalos inteiros neste conjunto (dados em cm inteiros), arredondamos h para cima para garantir que o maior valor caiba numa das classes e as classes fiquem com largura simples. Assim escolhemos
h = 5\\ \text{cm}.
Explicação didática: arredondar para cima evita que o último valor fique fora do último intervalo; também facilita contagens sem decimais.

Passo 5

Definir os limites das classes. Começamos pelo menor valor 151 e montamos 8 classes consecutivas de largura 5 que cubram até 190. Para dados inteiros, é comum usar intervalos fechados por extremos inteiros, por exemplo 151\text{--}155,\\\ 156\text{--}160, etc. Assim as classes ficam:
\begin{aligned} \text{Classe }1 &: 151\text{--}155\\\ \text{Classe }2 &: 156\text{--}160\\\ \text{Classe }3 &: 161\text{--}165\\\ \text{Classe }4 &: 166\text{--}170\\\ \text{Classe }5 &: 171\text{--}175\\\ \text{Classe }6 &: 176\text{--}180\\\ \text{Classe }7 &: 181\text{--}185\\\ \text{Classe }8 &: 186\text{--}190. \end{aligned}
Comentário didático: para dados contínuos usaríamos limites como 150{,}5\text{--}155{,}5, mas para dados inteiros esta escolha inteira é clara e evita ambiguidade — cada valor inteiro cai exatamente numa única classe.

Passo 6

Calcular as frequências absolutas (contagem de observações em cada classe). Método: somar as ocorrências dos valores individuais que caem no intervalo de cada classe. Peguei as contagens dos valores individuais na lista fornecida (contei quantas vezes cada número aparece) e somei por classe.
Contagem por valor (peguei diretamente do enunciado e contei):
\begin{aligned} 151&:1,\\\ 152:1,\\\ 154:1,\\\ 155:1,\\\\ 158&:1,\\\ 159:2,\\\ 160:1,\\\\ 161&:3,\\\ 162:1,\\\ 163:3,\\\ 164:1,\\\ 165:3,\\\\ 166&:4,\\\ 167:5,\\\ 168:10,\\\ 169:7,\\\ 170:7,\\\\ 171&:4,\\\ 172:3,\\\ 173:3,\\\ 174:3,\\\ 175:4,\\\\ 176&:4,\\\ 177:4,\\\ 178:3,\\\ 179:2,\\\ 180:4,\\\\ 181&:3,\\\ 182:3,\\\ 183:1,\\\ 184:1,\\\ 185:1,\\\\ 186&:1,\\\ 187:1,\\\ 188:1,\\\ 190:2. \end{aligned}
Agora somo por classe (cada soma é a frequência absoluta f da classe):
\begin{aligned} \text{Classe 1 (151--155)} &: f_1 = 1+1+1+1 = 4,\\\ \text{Classe 2 (156--160)} &: f_2 = 1+2+1 = 4,\\\ \text{Classe 3 (161--165)} &: f_3 = 3+1+3+1+3 = 11,\\\ \text{Classe 4 (166--170)} &: f_4 = 4+5+10+7+7 = 33,\\\ \text{Classe 5 (171--175)} &: f_5 = 4+3+3+3+4 = 17,\\\ \text{Classe 6 (176--180)} &: f_6 = 4+4+3+2+4 = 17,\\\ \text{Classe 7 (181--185)} &: f_7 = 3+3+1+1+1 = 9,\\\ \text{Classe 8 (186--190)} &: f_8 = 1+1+1+0+2 = 5. \end{aligned}
Verificação: soma das frequências absolutas 4+4+11+33+17+17+9+5 = 100, que é o total da amostra — está consistente.

Passo 7

Calcular as frequências relativas. Definição: frequência relativa h_i = f_i / n (proporção da amostra). Aqui n=100, então é fácil: cada frequência absoluta dividida por 100. Mostro em decimal e em porcentagem:
\begin{aligned} h_1 &= \frac{4}{100}=0{,}04\\ (=4\%),\\\ h_2 &= \frac{4}{100}=0{,}04\\ (=4\%),\\\ h_3 &= \frac{11}{100}=0{,}11\\ (=11\%),\\\ h_4 &= \frac{33}{100}=0{,}33\\ (=33\%),\\\ h_5 &= \frac{17}{100}=0{,}17\\ (=17\%),\\\ h_6 &= \frac{17}{100}=0{,}17\\ (=17\%),\\\ h_7 &= \frac{9}{100}=0{,}09\\ (=9\%),\\\ h_8 &= \frac{5}{100}=0{,}05\\ (=5\%). \end{aligned}

Passo 8

Calcular os pontos médios (marcadores) das classes. Fórmula do ponto médio m_i de uma classe: m_i = \dfrac{\text{limite inferior} + \text{limite superior}}{2}.
Cálculos:
\begin{aligned} m_1 &= \frac{151+155}{2}=153,\\\ m_2 &= \frac{156+160}{2}=158,\\\ m_3 &= \frac{161+165}{2}=163,\\\ m_4 &= \frac{166+170}{2}=168,\\\ m_5 &= \frac{171+175}{2}=173,\\\ m_6 &= \frac{176+180}{2}=178,\\\ m_7 &= \frac{181+185}{2}=183,\\\ m_8 &= \frac{186+190}{2}=188. \end{aligned}

Passo 9

Calcular a frequência acumulada absoluta e relativa. A frequência acumulada absoluta F_i é a soma das f_j até a classe i. Como n=100, a acumulada relativa é F_i / 100.
Cálculo passo a passo:
\begin{aligned} F_1 &= 4,\\\ F_2 &= 4+4 = 8,\\\ F_3 &= 8+11 = 19,\\\ F_4 &= 19+33 = 52,\\\ F_5 &= 52+17 = 69,\\\ F_6 &= 69+17 = 86,\\\ F_7 &= 86+9 = 95,\\\ F_8 &= 95+5 = 100. \end{aligned}
Acumulada relativa:
\begin{aligned} \frac{F_1}{100} &= 0{,}04,\\\ \frac{F_2}{100} &= 0{,}08,\\\ \frac{F_3}{100} &= 0{,}19,\\\ \frac{F_4}{100} &= 0{,}52,\\\ \frac{F_5}{100} &= 0{,}69,\\\ \frac{F_6}{100} &= 0{,}86,\\\ \frac{F_7}{100} &= 0{,}95,\\\ \frac{F_8}{100} &= 1{,}00. \end{aligned}

Passo 10

Instruções para desenhar o histograma e o polígono de frequência (passo-a-passo prático para a prova).
Histograma (barras):
  • No eixo horizontal coloque as classes (intervalos). Cada barra tem largura h=5 e altura igual à frequência absoluta f_i (ou à frequência relativa, se preferir escala em proporção).
  • Para este caso, as barras teriam alturas 4,4,11,33,17,17,9,5 respectivamente para as oito classes.
  • As barras são contíguas (sem espaços) porque as classes são consecutivas e cobrem todo o intervalo de dados.
  • Etiquete o eixo vertical com frequências (por ex. 0 a 40) e o eixo horizontal com os intervalos 151\text{--}155,\dots,186\text{--}190.
Polígono de frequência:
  • Calcule os pontos (m_i,f_i), onde m_i é o ponto médio da classe e f_i a frequência absoluta. Os pontos para ligar são:
(153,4),\\ (158,4),\\ (163,11),\\ (168,33),\\ (173,17),\\ (178,17),\\ (183,9),\\ (188,5).
  • Para fechar o polígono no eixo horizontal, recomenda-se acrescentar um ponto antes e outro depois com frequência 0, usando midpoints deslocados uma largura de classe para fora: (153-5,0)=(148,0) e (188+5,0)=(193,0).
  • Ligue esses pontos por segmentos retos na ordem indicada para formar o polígono.

Passo 11

Instruções para o gráfico de frequência acumulada (ogiva):
  • Use os limites superiores das classes no eixo x e a frequência acumulada F_i no eixo y. Os pares a plotar (limite superior, frequência acumulada) são:
(155,4),\\ (160,8),\\ (165,19),\\ (170,52),\\ (175,69),\\ (180,86),\\ (185,95),\\ (190,100).
  • Conecte esses pontos por segmentos retos (ou desenhe uma curva suave se preferir). Se quiser a versão em relativa, use as mesmas abscissas e F_i/100 no eixo y.
  • Alternativamente, você pode plotar a ogiva usando limites inferiores e começar em zero; o importante é que o eixo x represente a coordenada de corte (normalmente o limite superior) e o eixo y a acumulada.

Passo 12

Checagem final rápida (consistência): confirmei que a soma das frequências absolutas é 100 e a soma das frequências relativas é 1{,}00. Tudo fecha.

Resposta

a) 39\\ \text{cm}
b) 8\\ \text{classes}
c) amplitude das classes h=5\\ \text{cm}
d) limites das classes: 151\text{--}155,\\\ 156\text{--}160,\\\ 161\text{--}165,\\\ 166\text{--}170,\\\ 171\text{--}175,\\\ 176\text{--}180,\\\ 181\text{--}185,\\\ 186\text{--}190
e) frequências absolutas: f=\{4,\\\ 4,\\\ 11,\\\ 33,\\\ 17,\\\ 17,\\\ 9,\\\ 5\} (na ordem das classes)
f) frequências relativas: \{0{,}04,\\\ 0{,}04,\\\ 0{,}11,\\\ 0{,}33,\\\ 0{,}17,\\\ 0{,}17,\\\ 0{,}09,\\\ 0{,}05\} (ou 4\%,4\%,11\%,33\%,17\%,17\%,9\%,5\%)
g) pontos médios: \{153,\\\ 158,\\\ 163,\\\ 168,\\\ 173,\\\ 178,\\\ 183,\\\ 188\}
h) frequência acumulada absoluta: \{4,\\\ 8,\\\ 19,\\\ 52,\\\ 69,\\\ 86,\\\ 95,\\\ 100\} ; relativa acumulada: \{0{,}04,\\\ 0{,}08,\\\ 0{,}19,\\\ 0{,}52,\\\ 0{,}69,\\\ 0{,}86,\\\ 0{,}95,\\\ 1{,}00\}
i) histograma: barras contíguas para as classes acima com alturas 4,4,11,33,17,17,9,5; polígono de frequência: ligar os pontos (153,4),(158,4),(163,11),(168,33),(173,17),(178,17),(183,9),(188,5) e fechar com (148,0) e (193,0).
i) gráfico de frequência acumulada (ogiva): plotar e ligar por segmentos os pontos (155,4),(160,8),(165,19),(170,52),(175,69),(180,86),(185,95),(190,100) (ou usar as relativas /100 no eixo y).

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