Considere os dados obtidos pelas medidas das alturas de 100 individuo: (dadas em cm ):
Pede-se determinar:
a) a amplitude amostral; b) o número de classes; c) a amplitude das classes; d) os limites das classes; e) as frequências absolutas das classes; f) as frequências relativas; g) os pontos médios das classes; h) a frequência acumulada; i) o histograma - polígono de frequência; i) os gráficos de frequência acumulada.
a) a amplitude amostral; b) o número de classes; c) a amplitude das classes; d) os limites das classes; e) as frequências absolutas das classes; f) as frequências relativas; g) os pontos médios das classes; h) a frequência acumulada; i) o histograma - polígono de frequência; i) os gráficos de frequência acumulada.
Passo 1
O enunciado fornece as alturas (em cm) de
indivíduos, listadas em ordem não-necessariamente agrupada, e pede várias análises de organização e visualização dos dados. Perguntas que temos de responder (uma por uma):
a) a amplitude amostral;
b) o número de classes;
c) a amplitude (largura) das classes;
d) os limites das classes;
e) as frequências absolutas das classes;
f) as frequências relativas;
g) os pontos médios das classes;
h) a frequência acumulada;
i) o histograma e o polígono de frequência;
i) os gráficos de frequência acumulada.
a) a amplitude amostral;
b) o número de classes;
c) a amplitude (largura) das classes;
d) os limites das classes;
e) as frequências absolutas das classes;
f) as frequências relativas;
g) os pontos médios das classes;
h) a frequência acumulada;
i) o histograma e o polígono de frequência;
i) os gráficos de frequência acumulada.
Informações fornecidas (peguei os números diretamente do enunciado): lista das
alturas (em cm) — os valores mínimos e máximos aparecem na lista e serão usados diretamente nos cálculos a seguir.
Passo 2
Calcular a amplitude amostral (intervalo: maior menos menor). Definição: a amplitude é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo observados. Vou identificar o menor e o maior valor na lista (peguei-os da lista fornecida):
- menor valor
cm, pois aparece na lista; - maior valor
cm, pois aparece na lista.
Então a amplitude amostral é
Passo 3
Escolher o número de classes
. Não foi especificado no enunciado um método — vou usar a regra de Sturges (método clássico e simples para amostras como esta). A regra de Sturges diz:
onde
é o tamanho da amostra (
). Calculando:
Arredondamos para um inteiro prático. Vou escolher
classes (escolha comum: arredonda para cima ou para o inteiro mais próximo;
é conveniente aqui). Obs.: outra regra simples seria
, mas
com a regra de Sturges é perfeitamente aceitável e dá classes com largura manejável.
Passo 4
Determinar a amplitude (largura) das classes
. Fórmula básica:
Como é prático trabalhar com intervalos inteiros neste conjunto (dados em cm inteiros), arredondamos
para cima para garantir que o maior valor caiba numa das classes e as classes fiquem com largura simples. Assim escolhemos
Explicação didática: arredondar para cima evita que o último valor fique fora do último intervalo; também facilita contagens sem decimais.
Passo 5
Definir os limites das classes. Começamos pelo menor valor
e montamos
classes consecutivas de largura
que cubram até
. Para dados inteiros, é comum usar intervalos fechados por extremos inteiros, por exemplo
etc. Assim as classes ficam:
Comentário didático: para dados contínuos usaríamos limites como
, mas para dados inteiros esta escolha inteira é clara e evita ambiguidade — cada valor inteiro cai exatamente numa única classe.
Passo 6
Calcular as frequências absolutas (contagem de observações em cada classe). Método: somar as ocorrências dos valores individuais que caem no intervalo de cada classe. Peguei as contagens dos valores individuais na lista fornecida (contei quantas vezes cada número aparece) e somei por classe.
Contagem por valor (peguei diretamente do enunciado e contei):
Agora somo por classe (cada soma é a frequência absoluta
da classe):
Verificação: soma das frequências absolutas
, que é o total da amostra — está consistente.
Passo 7
Calcular as frequências relativas. Definição: frequência relativa
(proporção da amostra). Aqui
, então é fácil: cada frequência absoluta dividida por
. Mostro em decimal e em porcentagem:
Passo 8
Calcular os pontos médios (marcadores) das classes. Fórmula do ponto médio
de uma classe:
.
Cálculos:
Passo 9
Calcular a frequência acumulada absoluta e relativa. A frequência acumulada absoluta
é a soma das
até a classe
. Como
, a acumulada relativa é
.
Cálculo passo a passo:
Acumulada relativa:
Passo 10
Instruções para desenhar o histograma e o polígono de frequência (passo-a-passo prático para a prova).
Histograma (barras):
- No eixo horizontal coloque as classes (intervalos). Cada barra tem largura
e altura igual à frequência absoluta (ou à frequência relativa, se preferir escala em proporção). - Para este caso, as barras teriam alturas
respectivamente para as oito classes. - As barras são contíguas (sem espaços) porque as classes são consecutivas e cobrem todo o intervalo de dados.
- Etiquete o eixo vertical com frequências (por ex. 0 a 40) e o eixo horizontal com os intervalos
.
Polígono de frequência:
- Calcule os pontos
, onde é o ponto médio da classe e a frequência absoluta. Os pontos para ligar são:
- Para fechar o polígono no eixo horizontal, recomenda-se acrescentar um ponto antes e outro depois com frequência
, usando midpoints deslocados uma largura de classe para fora: e . - Ligue esses pontos por segmentos retos na ordem indicada para formar o polígono.
Passo 11
Instruções para o gráfico de frequência acumulada (ogiva):
- Use os limites superiores das classes no eixo
e a frequência acumulada no eixo . Os pares a plotar (limite superior, frequência acumulada) são:
- Conecte esses pontos por segmentos retos (ou desenhe uma curva suave se preferir). Se quiser a versão em relativa, use as mesmas abscissas e
no eixo . - Alternativamente, você pode plotar a ogiva usando limites inferiores e começar em zero; o importante é que o eixo
represente a coordenada de corte (normalmente o limite superior) e o eixo a acumulada.
Passo 12
Checagem final rápida (consistência): confirmei que a soma das frequências absolutas é
e a soma das frequências relativas é
. Tudo fecha.
Resposta
a)
b)
c) amplitude das classes
d) limites das classes:
e) frequências absolutas: (na ordem das classes)
f) frequências relativas: (ou
)
g) pontos médios:
h) frequência acumulada absoluta: ; relativa acumulada:
i) histograma: barras contíguas para as classes acima com alturas ; polígono de frequência: ligar os pontos
e fechar com
e
.
i) gráfico de frequência acumulada (ogiva): plotar e ligar por segmentos os pontos (ou usar as relativas
no eixo
).
b)
c) amplitude das classes
d) limites das classes:
e) frequências absolutas:
f) frequências relativas:
g) pontos médios:
h) frequência acumulada absoluta:
i) histograma: barras contíguas para as classes acima com alturas
i) gráfico de frequência acumulada (ogiva): plotar e ligar por segmentos os pontos