EXERCÍCIO PRÁTICO 7.2
O eixo
positivo (linha semi-infinita em relação à origem) é percorrido por uma corrente filamentar de 2 A no sentido de -
. Assuma que seja parte de um circuito muito extenso. Determine
em:
.
O eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma corrente de 2 A percorrendo o eixo positivo $ y $ nessa direção negativa. Queremos descobrir o campo magnético $ \mathbf{H} $ no ponto $ B(3,12,-4) $. Para isso, vamos usar conceitos de magnetostática, especificamente a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por uma corrente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde está o ponto $ B $ relativo ao fio pela corrente. O fio está ao longo do eixo $ y $, e o ponto $ B $ tem coordenadas $ (3,12,-4) $. Isso significa que a distância perpendicular do ponto $ B $ ao fio é a distância no plano $ xz $, já que o fio está no eixo $ y $.
Passo 3
Vamos calcular essa distância perpendicular $ r $. Como o ponto $ B $ está em $ (3,12,-4) $, a distância $ r $ é dada por:
Passo 4
Agora, usamos a Lei de Biot-Savart para uma corrente infinita (ou muito extensa, como no caso). A fórmula para o campo magnético $ \mathbf{H} $ a uma distância $ r $ de um fio retilíneo com corrente $ I $ é:
Onde:
- $ I = 2 $ A é a corrente,
- $ r = 5 $ unidades é a distância que calculamos,
- $ \hat{\boldsymbol{\phi}} $ é o vetor unitário na direção tangencial ao círculo centrado no fio.
Passo 5
Vamos calcular a magnitude de $ \mathbf{H} $:
Passo 6
Agora, precisamos determinar a direção de $ \mathbf{H} $. Usamos a regra da mão direita: se o polegar aponta na direção da corrente, os dedos enrolam na direção do campo magnético. Como a corrente está no sentido de
, apontamos o polegar para baixo no eixo $ y $. No ponto $ B(3,12,-4) $, isso significa que o campo $ \mathbf{H} $ estará na direção de $ \phi $, que no nosso caso é perpendicular ao plano $ y $.
Passo 7
Vamos expressar $ \mathbf{H} $ em coordenadas cartesianas. A direção $ \hat{\boldsymbol{\phi}} $ no ponto $ B $ pode ser encontrada usando os vetores unitários $ \mathbf{a}_x $ e $ \mathbf{a}_z $. Calculamos o ângulo $ \theta $ que $ \mathbf{H} $ faz com o eixo $ x $:
Então,
A direção de $ \mathbf{H} $ é então:
Substituindo $ \theta $:
Passo 8
Finalmente, combinamos a magnitude e a direção para obter $ \mathbf{H} $:
Resposta
O campo magnético $ \mathbf{H} $ no ponto $ B(3,12,-4) $ é dado por: