EXERCÍCIO PRÁTICO 2.4
Se mathbfA=3 mathbfar+2 mathbfatheta-6 mathbfaphi e mathbfB=4 mathbfar+3 mathbfaphi, determine:
(b) |mathbfA times mathbfB| ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício prático 2.4, parte (b). A gente tem dois vetores:
A = 3, ar + 2, atheta - 6, aphi
B = 4, ar + 3, aphi
O objetivo aqui é determinar o módulo do produto vetorial entre A e B, ou seja, |A times B|. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, especialmente o cálculo de produto vetorial em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os vetores dados. Eles estão expressos em coordenadas esféricas com os vetores unitários ar, atheta e aphi. No entanto, para facilitar o cálculo do produto vetorial, vamos converter esses vetores para as coordenadas cartesianas i, j e k.

Passo 3

Nas coordenadas cartesianas, os vetores unitários esféricos podem ser expressos em termos de i, j e k. Supondo que o ângulo theta e phi sejam conhecidos ou que os vetores estejam em uma posição padrão, mas como não temos esses ângulos, vamos assumir uma orientação padrão onde:
ar = i, atheta = j, aphi = k
Com essa simplificação, podemos reescrever A e B em termos de i, j e k:
A = 3, i + 2, j - 6, k
B = 4, i + 0, j + 3, k

Passo 4

Agora que temos A e B em coordenadas cartesianas, podemos calcular o produto vetorial A times B usando a regra do determinante:
A times B = i & j & k 3 & 2 & -6 4 & 0 & 3
Vamos expandir esse determinante.

Passo 5

Calculando o determinante:
A times B = i(2 cdot 3 - (-6) cdot 0) - j(3 cdot 3 - (-6) cdot 4) + k(3 cdot 0 - 2 cdot 4)
Simplificando cada termo:
A times B = i(6 - 0) - j(9 + 24) + k(0 - 8)
A times B = 6, i - 33, j - 8, k

Passo 6

Agora, para encontrar o módulo desse vetor resultante, usamos a fórmula do módulo de um vetor V = Vx i + Vy j + Vz k:
|V| = raizVx^2 + Vy^2 + Vz^2
Aplicando isso ao nosso produto vetorial:
|A times B| = raiz6^2 + (-33)^2 + (-8)^2

Passo 7

Calculando os quadrados:
6^2 = 36, (-33)^2 = 1089, (-8)^2 = 64
Somando:
36 + 1089 + 64 = 11989
Agora, tiramos a raiz quadrada:
|A times B| = raiz36 + 1089 + 64 = raiz11989
|A times B| approx 34,63

Resposta

O módulo do produto vetorial |A times B| é aproximadamente 34,63.

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