EXERCÍCIO PRÁTICO 2.4
Se mathbfA=3 mathbfar+2 mathbfatheta-6 mathbfaphi e mathbfB=4 mathbfar+3 mathbfaphi, determine:
(a) mathbfA cdot mathbfB ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, A e B, expressos em coordenadas esféricas com os vetores unitários ar, atheta e aphi. O que a gente precisa fazer aqui é calcular o produto escalar desses dois vetores. Para isso, vamos precisar entender como funciona o produto escalar e como aplicá-lo nos vetores com componentes diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores A e B é uma operação que multiplica as componentes correspondentes dos vetores e depois soma esses resultados. A fórmula geral é:
A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
No nosso caso, os vetores estão expressos em coordenadas esféricas com os vetores unitários ar, atheta e aphi. Importante lembrar que esses vetores unitários são mutuamente perpendiculares, ou seja, o produto escalar entre eles é zero, a menos que sejam os mesmos vetores.

Passo 3

Vamos identificar as componentes de cada vetor:
A = 3,ar + 2,atheta - 6,aphi
B = 4,ar + 0,atheta + 3,aphi
Note que a B não tem componente na direção atheta, então podemos considerar o coeficiente dessa direção como zero.

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do produto escalar:
A cdot B = (3)(4) + (2)(0) + (-6)(3)
Aqui, multiplicamos as componentes correspondentes de A e B e somamos os resultados.

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
3 times 4 = 12
2 times 0 = 0
-6 times 3 = -18
Agora, somamos esses valores:
12 + 0 + (-18) = 12 - 18 = -6

Resposta

O produto escalar A cdot B é igual a -6.

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