EXERCÍCIO PRÁTICO 2.4
Se mathbfA=3 mathbfar+2 mathbfatheta-6 mathbfaphi e mathbfB=4 mathbfar+3 mathbfaphi, determine:
© a componente vetorial de mathbfA ao longo de mathbfaz em (1, pi / 3,5 pi / 4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta pede para encontrar a componente vetorial do vetor A ao longo do eixo z no ponto específico dado pelas coordenadas esféricas (1, pi/3, 5pi/4). Estamos trabalhando com vetores em coordenadas esféricas, e vamos precisar converter essas coordenadas para cartesianas para achar essa componente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter um vetor das coordenadas esféricas para as cartesianas. Em coordenadas esféricas, qualquer vetor pode ser expresso como:
V = Vr ar + Vtheta atheta + Vphi aphi
Onde:
  • Vr é a componente radial,
  • Vtheta é a componente na direção do ângulo poloidal,
  • Vphi é a componente na direção do ângulo azimutal.
Para converter para coordenadas cartesianas (x, y, z), usamos as seguintes relações:
x = r sintheta cosphi y = r sintheta sinphi z = r costheta

Passo 3

Vamos aplicar essas fórmulas às coordenadas (1, pi/3, 5pi/4):
x = 1 cdot sin(pi3) cdot cos(5pi4) y = 1 cdot sin(pi3) cdot sin(5pi4) z = 1 cdot cos(pi3)
Calculando cada um:
sin(pi3) = raiz32, cos(5pi4) = -raiz22, sin(5pi4) = -raiz22, cos(pi3) = 12
Então:
x = raiz32 cdot (-raiz22) = -raiz64 y = raiz32 cdot (-raiz22) = -raiz64 z = 12

Passo 4

Agora, precisamos expressar o vetor A em coordenadas cartesianas. Sabemos que:
A = 3 ar + 2 atheta - 6 aphi
Para converter cada componente para cartesianas, usamos as seguintes relações:
ar = sintheta cosphi i + sintheta sinphi j + costheta k atheta = costheta cosphi i + costheta sinphi j - sintheta k aphi = -sinphi i + cosphi j

Passo 5

Substituindo theta = pi/3 e phi = 5pi/4 nas expressões acima:
ar = raiz32 cdot (-raiz22) i + raiz32 cdot (-raiz22) j + 12 k = -raiz64 i - raiz64 j + 12 k
atheta = 12 cdot (-raiz22) i + 12 cdot (-raiz22) j - raiz32 k = -raiz24 i - raiz24 j - raiz32 k
aphi = -(-raiz22) i + (-raiz22) j = raiz22 i - raiz22 j

Passo 6

Agora, substituímos essas expressões na fórmula de A:
A = 3(-raiz64 i - raiz64 j + 12 k) + 2(-raiz24 i - raiz24 j - raiz32 k) - 6(raiz22 i - raiz22 j)
Vamos multiplicar cada termo:
= -3raiz64 i - 3raiz64 j + 32 k - raiz22 i - raiz22 j - raiz3 k - 3raiz2 i + 3raiz2 j

Passo 7

Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Para i:
-3raiz64 - raiz22 - 3raiz2 = -3raiz64 - raiz22 - 6raiz22 = -3raiz64 - 7raiz22
Para j:
-3raiz64 - raiz22 + 3raiz2 = -3raiz64 + 5raiz22
Para k:
32 - raiz3 = 3 - 2raiz32
Então, o vetor A em coordenadas cartesianas fica:
A = (-3raiz64 - 7raiz22) i + (-3raiz64 + 5raiz22) j + (3 - 2raiz32) k

Passo 8

Agora, para encontrar a componente de A ao longo do eixo z, basta olhar para a componente k do vetor A. Então:
Az = 3 - 2raiz32

Resposta

A componente vetorial de A ao longo de az no ponto dado é 3 - 2raiz32.

Exercícios relacionados