EXERCÍCIO PRÁTICO 2.4
Se
e
, determine:
© a componente vetorial de
ao longo de
em
.
Se
© a componente vetorial de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta pede para encontrar a componente vetorial do vetor A ao longo do eixo z no ponto específico dado pelas coordenadas esféricas
. Estamos trabalhando com vetores em coordenadas esféricas, e vamos precisar converter essas coordenadas para cartesianas para achar essa componente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter um vetor das coordenadas esféricas para as cartesianas. Em coordenadas esféricas, qualquer vetor pode ser expresso como:
Onde:
-
é a componente radial, -
é a componente na direção do ângulo poloidal, -
é a componente na direção do ângulo azimutal.
Para converter para coordenadas cartesianas
, usamos as seguintes relações:
Passo 3
Vamos aplicar essas fórmulas às coordenadas
:
Calculando cada um:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos expressar o vetor A em coordenadas cartesianas. Sabemos que:
Para converter cada componente para cartesianas, usamos as seguintes relações:
Passo 5
Substituindo
e
nas expressões acima:
Passo 6
Agora, substituímos essas expressões na fórmula de A:
Vamos multiplicar cada termo:
Passo 7
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Para
:
Para
:
Para
:
Então, o vetor A em coordenadas cartesianas fica:
Passo 8
Agora, para encontrar a componente de A ao longo do eixo z, basta olhar para a componente
do vetor A. Então:
Resposta
A componente vetorial de
ao longo de
no ponto dado é
.