Exercício 2 - Pressão por colisões.
Explique qualitativamente de que maneira a pressão de um gás ideal em um recipiente muda se a velocidade média das moléculas dobrar, mantendo-se o número de partículas e o volume constantes.
Passo 1
O enunciado pede uma explicação qualitativa de como a pressão de um gás ideal em um recipiente muda quando a velocidade média das moléculas dobra, mantendo-se o número de partículas e o volume constantes.\n
Informações dadas:
O número de partículas N é constante.
O volume V é constante.
A “velocidade média das moléculas” dobra (vamos entender isso como todas as velocidades típicas sendo multiplicadas por 2 — explico essa suposição depois).
Queremos saber como a pressão P do gás muda (a razão entre pressão final e pressão inicial ou como ela escala).
Passo 2
Por que pressão depende da velocidade das moléculas? (ideia física básica, sem pular etapas)
Pressão é a força por unidade de área que o gás exerce nas paredes do recipiente.
Essa força surge das colisões das moléculas com as paredes: cada colisão troca momento entre uma molécula e a parede.
Para entender a dependência quantitativa precisamos relacionar a troca média de momento por colisão e a frequência dessas colisões com as velocidades das moléculas.
Passo 3
Derivindo a fórmula simples (passo a passo, hipótese de caixa cúbica para facilitar)
Considere uma caixa cúbica de lado L (portanto o volume é V=L^3). Isso é só para a conta; o resultado vale para qualquer forma do volume se usarmos médias apropriadas.
Pegue uma molécula de massa m com componente de velocidade na direção x igual a v_x. Quando ela bate na parede perpendicular ao eixo x, sua componente v_x inverte de sinal (supondo colisão elástica), então a variação de momento é \Delta p_x = 2m v_x.
Quanto tempo essa mesma molécula demora, em média, para voltar a colidir com a mesma parede? Ela percorre ida e volta na direção x, distância 2L, com velocidade |v_x|, então o intervalo entre colisões é \Delta t = \dfrac{2L}{|v_x|}.
A força média exercida por essa molécula sobre a parede é variação de momento por tempo:
\overline{v^2} é a média do quadrado da velocidade (ou seja, a média de v^2 sobre todas as moléculas).
Passo 5
O que acontece quando a velocidade média dobra? (liga fórmula ao enunciado)
O enunciado diz que a velocidade média das moléculas dobra. Na prática, para usar diretamente a fórmula acima precisamos de como isso afeta \overline{v^2}.
Se todas as velocidades individuais são multiplicadas por 2 (ou seja, cada \vec{v}_i \to 2\vec{v}_i), então cada quadrado de velocidade muda como v_i^2 \to (2v_i)^2 = 4 v_i^2. Assim a média de v^2 também multiplica por 4:
Conclusão prática: se dobrarmos as velocidades de todas as moléculas (ou seja, escalar a distribuição de velocidades por 2), a pressão quadruplica.
Nota sobre ambiguidade: se o enunciado apenas diz “a velocidade média dobra” mas não especifica como a distribuição muda, a resposta precisa da suposição acima. Em muitos problemas de teoria cinética assume-se que a velocidade típica de todas as partículas escala uniformemente, aí o resultado é direto: P cresce por fator 4.
Ligação com energia/temperatura (intuição): a energia cinética média por partícula é proporcional a \overline{v^2}; dobrar as velocidades faz essa energia crescer por 4, e a pressão em volume constante acompanha esse aumento de energia cinética por unidade de volume.
Resposta
A pressão quadruplica: P_{\text{final}}=4\,P_{\text{inicial}}.