Exercício 2 - Pressão por colisões.
Explique qualitativamente de que maneira a pressão de um gás ideal em um recipiente muda se a velocidade média das moléculas dobrar, mantendo-se o número de partículas e o volume constantes.

Passo 1

O enunciado pede uma explicação qualitativa de como a pressão de um gás ideal em um recipiente muda quando a velocidade média das moléculas dobra, mantendo-se o número de partículas e o volume constantes.\n
Informações dadas:
  • O número de partículas N é constante.
  • O volume V é constante.
  • A “velocidade média das moléculas” dobra (vamos entender isso como todas as velocidades típicas sendo multiplicadas por 2 — explico essa suposição depois).
  • Queremos saber como a pressão P do gás muda (a razão entre pressão final e pressão inicial ou como ela escala).

Passo 2

Por que pressão depende da velocidade das moléculas? (ideia física básica, sem pular etapas)
  • Pressão é a força por unidade de área que o gás exerce nas paredes do recipiente.
  • Essa força surge das colisões das moléculas com as paredes: cada colisão troca momento entre uma molécula e a parede.
  • Para entender a dependência quantitativa precisamos relacionar a troca média de momento por colisão e a frequência dessas colisões com as velocidades das moléculas.

Passo 3

Derivindo a fórmula simples (passo a passo, hipótese de caixa cúbica para facilitar)
  • Considere uma caixa cúbica de lado L (portanto o volume é V=L^3). Isso é só para a conta; o resultado vale para qualquer forma do volume se usarmos médias apropriadas.
  • Pegue uma molécula de massa m com componente de velocidade na direção x igual a v_x. Quando ela bate na parede perpendicular ao eixo x, sua componente v_x inverte de sinal (supondo colisão elástica), então a variação de momento é \Delta p_x = 2m v_x.
  • Quanto tempo essa mesma molécula demora, em média, para voltar a colidir com a mesma parede? Ela percorre ida e volta na direção x, distância 2L, com velocidade |v_x|, então o intervalo entre colisões é \Delta t = \dfrac{2L}{|v_x|}.
  • A força média exercida por essa molécula sobre a parede é variação de momento por tempo:
F_{\text{mól}} = \frac{\Delta p_x}{\Delta t} = \frac{2m v_x}{2L/|v_x|} = \frac{m v_x^2}{L}.ó
(usar v_x^2 elimina o sinal de v_x, por isso não precisamos da barra de valor absoluto aqui.)
  • A pressão contribuída por essa molécula é a força sobre a área da parede. A área da parede é A=L^2, então
p_{\text{mól}} = \frac{F_{\text{mól}}}{A} = \frac{m v_x^2}{L^3} = \frac{m v_x^2}{V}.óó
  • Somando a contribuição de todas as N moléculas e tomando a média sobre as diferentes v_x^2, obtemos
P = \frac{m}{V}\sum_{i=1}^{N} v_{x,i}^2 = \frac{Nm}{V}\,\overline{v_x^2},
onde \overline{v_x^2} é a média de v_x^2 sobre todas as moléculas.

Passo 4

Usando isotropia para passar de componente para velocidade total
  • Num gás em equilíbrio, não há direção preferencial: as três componentes x,y,z são estatisticamente iguais. Logo
\overline{v^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2} = 3\,\overline{v_x^2}.
  • Portanto
\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\,\overline{v^2}
e substituindo na expressão de P obtemos a fórmula clássica da teoria cinética:
\boxed{\,P = \frac{1}{3}\,\frac{Nm}{V}\,\overline{v^2}\,}
Aqui:
  • P é a pressão do gás,
  • N é o número de moléculas,
  • m é a massa de cada molécula,
  • V é o volume do recipiente,
  • \overline{v^2} é a média do quadrado da velocidade (ou seja, a média de v^2 sobre todas as moléculas).

Passo 5

O que acontece quando a velocidade média dobra? (liga fórmula ao enunciado)
  • O enunciado diz que a velocidade média das moléculas dobra. Na prática, para usar diretamente a fórmula acima precisamos de como isso afeta \overline{v^2}.
  • Se todas as velocidades individuais são multiplicadas por 2 (ou seja, cada \vec{v}_i \to 2\vec{v}_i), então cada quadrado de velocidade muda como v_i^2 \to (2v_i)^2 = 4 v_i^2. Assim a média de v^2 também multiplica por 4:
\overline{v^2}_{\text{final}} = 4\,\overline{v^2}_{\text{inicial}}.
  • Substituindo na fórmula de P (e lembrando que N, m e V permanecem constantes) obtemos
P_{\text{final}} = \frac{1}{3}\frac{Nm}{V}\,\overline{v^2}_{\text{final}} = \frac{1}{3}\frac{Nm}{V}\,4\overline{v^2}_{\text{inicial}} = 4\left(\frac{1}{3}\frac{Nm}{V}\,\overline{v^2}_{\text{inicial}}\right) = 4\,P_{\text{inicial}}.

Passo 6

Observações finais e cuidado com a interpretação
  • Conclusão prática: se dobrarmos as velocidades de todas as moléculas (ou seja, escalar a distribuição de velocidades por 2), a pressão quadruplica.
  • Nota sobre ambiguidade: se o enunciado apenas diz “a velocidade média dobra” mas não especifica como a distribuição muda, a resposta precisa da suposição acima. Em muitos problemas de teoria cinética assume-se que a velocidade típica de todas as partículas escala uniformemente, aí o resultado é direto: P cresce por fator 4.
  • Ligação com energia/temperatura (intuição): a energia cinética média por partícula é proporcional a \overline{v^2}; dobrar as velocidades faz essa energia crescer por 4, e a pressão em volume constante acompanha esse aumento de energia cinética por unidade de volume.

Resposta

A pressão quadruplica: P_{\text{final}}=4\,P_{\text{inicial}}.

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