Exercício 3.8
Para a produção de marmelada, as frutas são misturadas com açúcar e pectina, e a mistura é fervida até atingir cerca de 65% de concentração de sólidos.
Determine a quantidade de frutas, açúcar e pectina que deve ser utilizada para produzir
de marmelada, considerando que:
- o teor de sólidos das frutas é de 10%,
- a proporção de açúcar para frutas na receita é de 56:44, e
- a proporção de açúcar para pectina é de 100:1.
Passo 1
O enunciado pede determinar as quantidades (em kg) de frutas, açúcar e pectina necessárias para produzir
de marmelada. Dados fornecidos:
- teor de sólidos das frutas:
(ou seja, cada de fruta contém de sólidos); - proporção de açúcar para frutas na receita:
; - proporção de açúcar para pectina:
; - concentração desejada de sólidos na marmelada final:
(logo, de de marmelada, são sólidos).
Informações relevantes listadas:
- massa final total:
; - massa total de sólidos requerida na marmelada:
; - frutas fornecem
de sólidos: se é a massa de frutas (kg), então os sólidos das frutas valem ; - açúcar e pectina são considerados inteiramente sólidos;
- as proporções dadas entre açúcar, frutas e pectina serão usadas para relacionar as massas dos sólidas (ver passo seguinte).
Passo 2
Defino as incógnitas (variáveis):
Também definimos os sólidos provenientes das frutas:
O objetivo: achar
.
Passo 3
Escrevo a equação que vem da exigência de sólidos na marmelada final (total de sólidos deve ser
):
Explicação: os sólidos na marmelada são a soma dos sólidos das frutas (
), do açúcar (
) e da pectina (
).
Passo 4
Interpreto as proporções do enunciado de forma consistente com a física do problema:
- A proporção “açúcar para frutas 56:44” refere-se à proporção entre o açúcar sólido e os sólidos das frutas (ou seja, entre
e ). Isto é coerente porque a receita costuma relacionar componentes secos; portanto uso
- A proporção “açúcar para pectina 100:1” refere-se à relação entre as massas sólidas de açúcar e pectina, ou seja
Nota: escolhi aplicar as proporções aos sólidos (não às frutas totais) porque açúcar e pectina entram como sólidos; isso permite relacionar diretamente as parcelas de sólidos que somam
.
Passo 5
Expresso
e
em função de
:
Da proporção açúcar:fruta (em sólidos)
Da proporção açúcar:fruta (em sólidos)
Da proporção açúcar:pectina
Passo 6
Substituo
e
na equação dos sólidos (
):
Agora somo os coeficientes de
. Calculando:
Logo
Daí
Faço a divisão para obter a massa de açúcar em kg (arredondarei depois):
Passo 7
Calculo a massa de pectina usando
:
Passo 8
Calculo os sólidos das frutas
:
Como
, a massa total de frutas é
Passo 9
Verificação rápida (controle de consistência):
como exigido. Observação física: a massa dos ingredientes (frutas + açúcar + pectina) antes da fervura é muito maior do que
porque grande parte da água das frutas se perde por evaporação durante a fervura; a equação dos sólidos garante que, depois da evaporação, sobrará
de produto com
de sólidos.
Resposta
Frutas:
Açúcar:
Pectina: