Exercício 3.8

Para a produção de marmelada, as frutas são misturadas com açúcar e pectina, e a mistura é fervida até atingir cerca de 65% de concentração de sólidos.
Determine a quantidade de frutas, açúcar e pectina que deve ser utilizada para produzir \mathbf{1 0 0 0} \mathbf{~ k g} de marmelada, considerando que:
  • o teor de sólidos das frutas é de 10%,
  • a proporção de açúcar para frutas na receita é de 56:44, e
  • a proporção de açúcar para pectina é de 100:1.

Passo 1

O enunciado pede determinar as quantidades (em kg) de frutas, açúcar e pectina necessárias para produzir 1000\\ \text{kg} de marmelada. Dados fornecidos:
  • teor de sólidos das frutas: 10\% (ou seja, cada 1\\ \text{kg} de fruta contém 0,10\\ \text{kg} de sólidos);
  • proporção de açúcar para frutas na receita: 56:44;
  • proporção de açúcar para pectina: 100:1;
  • concentração desejada de sólidos na marmelada final: 65\% (logo, de 1000\\ \text{kg} de marmelada, 0{,}65\cdot 1000=650\\ \text{kg} são sólidos).
Informações relevantes listadas:
  • massa final total: 1000\\ \text{kg};
  • massa total de sólidos requerida na marmelada: 650\\ \text{kg};
  • frutas fornecem 10\% de sólidos: se F é a massa de frutas (kg), então os sólidos das frutas valem 0{,}10F;
  • açúcar e pectina são considerados inteiramente sólidos;
  • as proporções dadas entre açúcar, frutas e pectina serão usadas para relacionar as massas dos sólidas (ver passo seguinte).

Passo 2

Defino as incógnitas (variáveis):
F = \text{massa total de frutas (kg)},
S = \text{massa de açúcar (kg)},çú
P = \text{massa de pectina (kg)}.
Também definimos os sólidos provenientes das frutas:
S_f = \text{massa de sólidos das frutas} = 0{,}10F.ó
O objetivo: achar F,\;S,\;P.

Passo 3

Escrevo a equação que vem da exigência de sólidos na marmelada final (total de sólidos deve ser 650\\ \text{kg}):
S_f + S + P = 650.
Explicação: os sólidos na marmelada são a soma dos sólidos das frutas ( S_f), do açúcar ( S) e da pectina ( P).

Passo 4

Interpreto as proporções do enunciado de forma consistente com a física do problema:
  • A proporção “açúcar para frutas 56:44” refere-se à proporção entre o açúcar sólido e os sólidos das frutas (ou seja, entre S e S_f). Isto é coerente porque a receita costuma relacionar componentes secos; portanto uso
\frac{S}{S_f}=\frac{56}{44}.
  • A proporção “açúcar para pectina 100:1” refere-se à relação entre as massas sólidas de açúcar e pectina, ou seja
\frac{S}{P}=\frac{100}{1}\quad\Rightarrow\quad P=\frac{S}{100}.
Nota: escolhi aplicar as proporções aos sólidos (não às frutas totais) porque açúcar e pectina entram como sólidos; isso permite relacionar diretamente as parcelas de sólidos que somam 650\\ \text{kg}.

Passo 5

Expresso S_f e P em função de S:
Da proporção açúcar:fruta (em sólidos)
\frac{S}{S_f}=\frac{56}{44}\quad\Rightarrow\quad S_f=\frac{44}{56}S=\frac{11}{14}S.
Da proporção açúcar:pectina
P=\frac{S}{100}.

Passo 6

Substituo S_f e P na equação dos sólidos ( S_f+S+P=650):
\frac{11}{14}S + S + \frac{1}{100}S = 650.
Agora somo os coeficientes de S. Calculando:
1+\frac{11}{14}+\frac{1}{100}=\frac{1257}{700}.
Logo
\frac{1257}{700}S=650.
Daí
S=650\cdot\frac{700}{1257}=\frac{455000}{1257}.
Faço a divisão para obter a massa de açúcar em kg (arredondarei depois):
S\approx 361{,}97295\\ \text{kg}.

Passo 7

Calculo a massa de pectina usando P=\dfrac{S}{100}:
P=\frac{1}{100}\cdot\frac{455000}{1257}=\frac{4550}{1257}\approx 3{,}61973\\ \text{kg}.

Passo 8

Calculo os sólidos das frutas S_f=\dfrac{11}{14}S:
S_f=\frac{11}{14}\cdot\frac{455000}{1257}=\frac{5005000}{17598}\approx 284{,}40732\\ \text{kg}.
Como S_f=0{,}10F, a massa total de frutas é
F=\frac{S_f}{0{,}10}=10\cdot S_f\approx 10\cdot 284{,}40732 = 2844{,}0732\\ \text{kg}.

Passo 9

Verificação rápida (controle de consistência):
S_f+S+P\approx 284{,}40732+361{,}97295+3{,}61973=650\\ \text{kg},
como exigido. Observação física: a massa dos ingredientes (frutas + açúcar + pectina) antes da fervura é muito maior do que 1000\\ \text{kg} porque grande parte da água das frutas se perde por evaporação durante a fervura; a equação dos sólidos garante que, depois da evaporação, sobrará 1000\\ \text{kg} de produto com 65\% de sólidos.

Resposta

Frutas: 2844{,}073\\ \text{kg}
Açúcar: 361{,}973\\ \text{kg}
Pectina: 3{,}620\\ \text{kg}

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