Uma unidade industrial produz um gás de exaustão, a uma vazão de 35 \mathrm{kgmol} / \mathrm{h}, composto basicamente por ar, mas contendo 16 \% (molar) de um poluente atmosférico. Deseja-se absorver 96 \% deste componente em uma coluna de absorção utilizando água contendo uma concentração residual deste componente ( 0,5 \% molar) como líquido absorvente à temperatura ambiente ( 20^{\circ} \mathrm{C} ) e pressão de 10 atm . Considere comportamento ideal e determine o número de pratos que devem ser construídos para este equipamento operar com uma vazão de alimentação de líquido 50 \% superior à mínima, sabendo que a eficiência global do modelo de coluna a ser instalada é de 70 \%. (Dado para o componente: p^{\text {sat }}\left(20^{\circ} \mathrm{C}\right)= 4.200 mmHg .)

Passo 1

Enunciado resumido — o que se pede e os dados fornecidos:
  • Vazão molar do gás: G=35\\ \mathrm{kgmol/h}.
  • Fração molar do poluente no gás de alimentação: y_{\mathrm{in}}=0{,}16.
  • Deseja-se remover 96\% do poluente (ou seja, restar 4\% do molar inicial do poluente no gás).
  • Líquido absorvente (água) entra com concentração residual do poluente: x_{\mathrm{in}}=0{,}005 (ou 0{,}5\% molar).
  • Temperatura 20^\circ\mathrm{C} e pressão total P=10\\ \mathrm{atm}.
  • Pressão de vapor saturante do componente a 20^\circ\mathrm{C}: p^{\mathrm{sat}}=4200\\ \mathrm{mmHg}.
  • Comportamento ideal é assumido. A vazão de alimentação de líquido será 50\% superior à mínima ( L=1{,}5\,L_{\min}).
  • Eficiência global da coluna (fator que converte estágios teóricos em pratos reais): E_{\mathrm{g}}=70\% = 0{,}70.
O que se pede: determinar o número de pratos que devem ser construídos para que a coluna opere nessas condições.

Passo 2

Entender o equilíbrio líquido-vapor e escolher a relação de equilíbrio usada:
  • Como o enunciado pede comportamento ideal e fornece p^{\mathrm{sat}}, a relação de equilíbrio linear apropriada (forma de Raoult para mistura ideal) é
y^*= \frac{p^{\mathrm{sat}}}{P}\;x.
Aqui y^* é a fração molar de vapor em equilíbrio com a fração molar líquida x; p^{\mathrm{sat}} é a pressão de vapor do componente puro; P é a pressão total. Isso é válido sob a hipótese de idealidade indicada no enunciado. (Explicação rápida: Raoult diz p_i = x_i p_i^{\mathrm{sat}}. Como a fase gasosa é ideal, y_i = p_i/P, daí y_i = (p_i^{\mathrm{sat}}/P)\,x_i.)
  • Calcule a constante de proporcionalidade (declividade da reta de equilíbrio):
m \equiv \frac{p^{\mathrm{sat}}}{P} = \frac{4200\\ \mathrm{mmHg}}{10\\ \mathrm{atm}\times 760\\ \mathrm{mmHg/atm}} = \frac{4200}{7600}=0{,}5526316.
Portanto a relação de equilíbrio é y^*=0{,}5526316\,x.

Passo 3

Determinar a fração molar do poluente no gás de saída exigida pela remoção de 96\%:
  • Fluxo molar do poluente na alimentação do gás: G\,y_{\mathrm{in}}=35\times 0{,}16=5{,}6\\ \mathrm{kmol/h}.
  • Removendo 96\% ficam 4\%: poluente que sai no gás =0{,}04\times 5{,}6=0{,}224\\ \mathrm{kmol/h}.
  • Fração molar no gás de saída:
y_{\mathrm{out}}=\frac{0{,}224}{35}=0{,}0064.

Passo 4

Calcular a vazão mínima de líquido L_{\min}:
  • Conceito: o caso de L_{\min} corresponde ao caso limite em que a reta de operação coincide (ou é tangente) com a reta de equilíbrio; para equilíbrio linear y=m x isso dá
\frac{L_{\min}}{G}=m.
(Derivação curta: balanço global G(y_{\mathrm{in}}-y_{\mathrm{out}})=L(x_{\mathrm{out}}-x_{\mathrm{in}}). Se a reta de operação coincide com a de equilíbrio entre x_{\mathrm{in}} e x_{\mathrm{out}}, então a inclinação da reta de operação L_{\min}/G é igual a m.)
  • Portanto
L_{\min}=G\,m=35\times 0{,}5526316=19{,}3421\\ \mathrm{kmol/h}.

Passo 5

Ajustar a vazão de líquido para ser 50\% superior à mínima:
L=1{,}5\,L_{\min}=1{,}5\times 19{,}3421=29{,}0132\\ \mathrm{kmol/h}.
Definimos a razão A:
A\equiv\frac{L}{G}=\frac{29{,}0132}{35}=0{,}8289474\approx 1{,}5\,m.

Passo 6

Escolher a equação para número de estágios teóricos (Kremser para absorção linear):
  • Para absorção com equilíbrio linear y=m x e fluxos aproximadamente constantes, a equação de Kremser relaciona y_{\mathrm{in}},y_{\mathrm{out}},x_{\mathrm{in}} com o número de estágios teóricos N:
\frac{y_{\mathrm{out}}-m\,x_{\mathrm{in}}}{y_{\mathrm{in}}-m\,x_{\mathrm{in}}}=\left(\frac{A-m}{A}\right)^{N},
onde A=L/G. Explicação: são os balanços etapa a etapa resumidos em forma fechada — a expressão mostra como a fração remanescente no gás decai exponencialmente com N quando o equilíbrio é linear.
  • Isolando N:
N=\frac{\ln\!\left(\dfrac{y_{\mathrm{out}}-m\,x_{\mathrm{in}}}{y_{\mathrm{in}}-m\,x_{\mathrm{in}}}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{A-m}{A}\right)}.

Passo 7

Calcular o número de estágios teóricos usando os valores numéricos:
  • Calcule m\,x_{\mathrm{in}}:
m\,x_{\mathrm{in}}=0{,}5526316\times 0{,}005=0{,}0027631579.
  • Numerador da fração:
y_{\mathrm{out}}-m\,x_{\mathrm{in}}=0{,}0064-0{,}0027631579=0{,}0036368421.
  • Denominador da fração:
y_{\mathrm{in}}-m\,x_{\mathrm{in}}=0{,}16-0{,}0027631579=0{,}1572368421.
  • Razão:
\frac{y_{\mathrm{out}}-m\,x_{\mathrm{in}}}{y_{\mathrm{in}}-m\,x_{\mathrm{in}}}=\frac{0{,}0036368421}{0{,}1572368421}=0{,}0231421.
  • Calcule \dfrac{A-m}{A}. Observando que A=1{,}5\,m então
\frac{A-m}{A}=\frac{1{,}5m-m}{1{,}5m}=\frac{0{,}5m}{1{,}5m}=\frac{1}{3}=0{,}3333333.
  • Agora N:
N=\frac{\ln(0{,}0231421)}{\ln(1/3)}=\frac{-3{,}7645}{-1{,}0986123}=3{,}43\\ \text{(estágios teóricos)}.áó
(Explanação curta: o numerador log dá o quanto a fração remanescente teve que cair; o denominador log é a “razão de decaimento” por estágio para a razão A.)

Passo 8

Converter estágios teóricos em pratos reais usando a eficiência global e arredondamento prático:
  • Com eficiência global E_{\mathrm{g}}=0{,}70, o número de pratos reais necessários é aproximadamente
N_{\mathrm{reais}}=\frac{N_{\mathrm{teóricos}}}{E_{\mathrm{g}}}=\frac{3{,}43}{0{,}70}=4{,}90.ó
  • Na prática devemos construir um número inteiro de pratos e sempre arredondar para cima (para garantir desempenho igual ou melhor que o exigido). Portanto escolhemos N_{\mathrm{pratos}}=5.

Resposta

5 pratos

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