Exercício 10

Uma indústria vende dois produtos, P1 e P2, ao preço por tonelada de \mathrm{R} \ 70,00 e\mathrm{R} $60,00$, respectivamente. A fabricação dos produtos é feita em toneladas e consome recursos que chamaremos de R1 e R2. Esses recursos estão disponíveis nas quantidades de 10 e 16 unidades, respectivamente. A produção de 1 tonelada de P 1 consome 5 unidades de R 1 e 2 unidades de R 2 , e a produção de 1 tonelada de P 2 consome 4 unidades de R 1 e 5 unidades de R 2 .
Formule um problema de programação linear para determinar quantas toneladas de cada produto devem ser fabricadas para se obter o maior faturamento possível.
(1) Qual será o faturamento máximo?
(2) Quanto de cada produto deve ser fabricado?
(3) Como os recursos estão sendo utilizados? Estão sendo subutilizados ou são insuficientes?

Passo 1

O enunciado pede que eu determine quantas toneladas de cada produto ( P1 e P2) fabricar para obter o maior faturamento possível, dadas as limitações de recursos. Perguntas explícitas:
  1. Qual será o faturamento máximo?
  2. Quanto de cada produto deve ser fabricado?
  3. Como os recursos estão sendo utilizados? Estão sendo subutilizados ou são insuficientes?
Informações dadas:
  • Preço por tonelada de P1: \text{R\$ }70,00.
  • Preço por tonelada de P2: \text{R\$ }60,00.
  • Recursos disponíveis: R1 = 10 unidades e R2 = 16 unidades.
  • Consumo por tonelada:
    • P1 consome 5 unidades de R1 e 2 unidades de R2.
    • P2 consome 4 unidades de R1 e 5 unidades de R2.
  • Produção é medida em toneladas (pode ser fracionada).

Passo 2

Defino variáveis e formulei o problema de programação linear:
  • Variáveis:
    • x_1 = toneladas de P1 a fabricar.
    • x_2 = toneladas de P2 a fabricar.
      Ambas satisfazem x_1 \ge 0 e x_2 \ge 0.
  • Função objetivo (faturamento total a maximizar):
\text{Maximizar } Z = 70 x_{1} + 60 x_{2}.
Aqui 70 e 60 são os reais por tonelada; x_1,x_2 são toneladas.
  • Restrições de recursos (consumo não pode exceder disponibilidade):
5 x_{1} + 4 x_{2} \le 10 \quad (\text{limite de } R1),
2 x_{1} + 5 x_{2} \le 16 \quad (\text{limite de } R2).
  • Condições de não-negatividade:
x_{1} \ge 0,\quad x_{2} \ge 0.

Passo 3

Escolhi resolver pelo método dos vértices (gráfico / canto extremo). Por que? Porque temos só duas variáveis ( x_1,x_2), então a região factível é um polígono no plano e o máximo de uma função linear ocorre em algum vértice dessa região. Assim basta encontrar os vértices (interseções das restrições e dos eixos) e avaliar Z neles.

Passo 4

Encontro os vértices da região factível.
  1. Vértice na origem:
( x_{1},x_{2})=(0,0).
  1. Interseção com o eixo x_{1}\) (\(x_{2}=0\)): Das restrições: \[5x_{1}\le 10 \Rightarrow x_{1}\le 2,
2x_{1}\le 16 \Rightarrow x_{1}\le 8.
O valor mais restrito é x_{1}\le 2. Logo um vértice é
( x_{1},x_{2})=(2,0).
  1. Interseção com o eixo x_{2} ( x_{1}=0):
    Das restrições:
4x_{2}\le 10 \Rightarrow x_{2}\le 2{,}5,
5x_{2}\le 16 \Rightarrow x_{2}\le 3{,}2.
O valor mais restrito é x_{2}\le 2{,}5. Logo um vértice é
( x_{1},x_{2})=(0,2{,}5).
  1. Interseção das duas retas de restrição:
    Resolvo o sistema
\begin{cases} 5x_{1}+4x_{2}=10,\\[4pt] 2x_{1}+5x_{2}=16. \end{cases}
Multiplicando a primeira por 2\] e a segunda por \(5 e subtraindo, obtenho
17x_{2}=60 \Rightarrow x_{2}=\dfrac{60}{17}\approx 3{,}529.
Substituindo na segunda:
2x_{1}+5\cdot\dfrac{60}{17}=16 \Rightarrow 2x_{1}=\dfrac{272-300}{17}=-\dfrac{28}{17},
logo x_{1}=-\dfrac{14}{17} (negativo). Como x_{1}<0, essa interseção fica fora do primeiro quadrante e, portanto, não é um vértice factível.
Conclusão: a região factível é o triângulo com vértices
(0,0),\quad (2,0),\quad (0,2{,}5).]

Passo 5

Avalio a função objetivo Z=70x_{1}+60x_{2} em cada vértice:
  1. Em (0,0):
Z=70\cdot 0 + 60\cdot 0 = 0.
  1. Em (2,0):
Z=70\cdot 2 + 60\cdot 0 = 140.
  1. Em (0,2{,}5):
Z=70\cdot 0 + 60\cdot 2{,}5 = 150.
Comparando: 0,\,140,\,150. O maior é 150.

Passo 6

Logo o faturamento máximo é \text{R\$ }150,00 e é atingido em (x_{1},x_{2})=(0,2{,}5): produzir apenas 2{,}5 toneladas de P2 e zero de P1.

Passo 7

Análise de utilização dos recursos (calculo do consumo nas quantidades ótimas):
Com (x_{1},x_{2})=(0,2{,}5):
  • Uso de R1:
5\cdot 0 + 4\cdot 2{,}5 = 10.
Disponibilidade de R1 é 10, então R1 está totalmente utilizado (folga zero).
  • Uso de R2:
2\cdot 0 + 5\cdot 2{,}5 = 12{,}5.
Disponibilidade de R2 é 16, então sobra
16 - 12{,}5 = 3{,}5
unidades de R2 (folga positiva).
Interpretação: R1 é um recurso limitante (insuficiente para ampliar a produção nessa direção) — a restrição de R1 está vinculada (binding). R2 está subutilizado (há sobra de 3{,}5 unidades), ou seja, não limita o faturamento atual.

Resposta

(1) \text{Faturamento máximo} = \text{R\$ }150{,}00.á
(2) x_{1}=0 toneladas de P1 e x_{2}=2{,}5 toneladas de P2.
(3) R1 usado: 10 de 10 (totalmente utilizado — insuficiente/binding).
R2 usado: 12{,}5 de 16 (sobra de 3{,}5 — subutilizado).

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