Exercício 10
Uma indústria vende dois produtos, P1 e P2, ao preço por tonelada de
70,00
\mathrm{R} $60,00$, respectivamente. A fabricação dos produtos é feita em toneladas e consome recursos que chamaremos de R1 e R2. Esses recursos estão disponíveis nas quantidades de 10 e 16 unidades, respectivamente. A produção de 1 tonelada de P 1 consome 5 unidades de R 1 e 2 unidades de R 2 , e a produção de 1 tonelada de P 2 consome 4 unidades de R 1 e 5 unidades de R 2 .
Formule um problema de programação linear para determinar quantas toneladas de cada produto devem ser fabricadas para se obter o maior faturamento possível.
(1) Qual será o faturamento máximo?
(2) Quanto de cada produto deve ser fabricado?
(3) Como os recursos estão sendo utilizados? Estão sendo subutilizados ou são insuficientes?
Formule um problema de programação linear para determinar quantas toneladas de cada produto devem ser fabricadas para se obter o maior faturamento possível.
(1) Qual será o faturamento máximo?
(2) Quanto de cada produto deve ser fabricado?
(3) Como os recursos estão sendo utilizados? Estão sendo subutilizados ou são insuficientes?
Passo 1
O enunciado pede que eu determine quantas toneladas de cada produto (
e
) fabricar para obter o maior faturamento possível, dadas as limitações de recursos. Perguntas explícitas:
- Qual será o faturamento máximo?
- Quanto de cada produto deve ser fabricado?
- Como os recursos estão sendo utilizados? Estão sendo subutilizados ou são insuficientes?
Informações dadas:
- Preço por tonelada de
: . - Preço por tonelada de
: . - Recursos disponíveis:
unidades e unidades. - Consumo por tonelada:
-
consome unidades de e unidades de . -
consome unidades de e unidades de .
-
- Produção é medida em toneladas (pode ser fracionada).
Passo 2
Defino variáveis e formulei o problema de programação linear:
-
Variáveis:
-
= toneladas de a fabricar. -
= toneladas de a fabricar.
Ambas satisfazeme .
-
-
Função objetivo (faturamento total a maximizar):
Aqui
e
são os reais por tonelada;
são toneladas.
- Restrições de recursos (consumo não pode exceder disponibilidade):
- Condições de não-negatividade:
Passo 3
Escolhi resolver pelo método dos vértices (gráfico / canto extremo). Por que? Porque temos só duas variáveis (
), então a região factível é um polígono no plano e o máximo de uma função linear ocorre em algum vértice dessa região. Assim basta encontrar os vértices (interseções das restrições e dos eixos) e avaliar
neles.
Passo 4
Encontro os vértices da região factível.
- Vértice na origem:
- Interseção com o eixo
O valor mais restrito é
. Logo um vértice é
- Interseção com o eixo
( ):
Das restrições:
O valor mais restrito é
. Logo um vértice é
- Interseção das duas retas de restrição:
Resolvo o sistema
Multiplicando a primeira por
e subtraindo, obtenho
Substituindo na segunda:
logo
(negativo). Como
, essa interseção fica fora do primeiro quadrante e, portanto, não é um vértice factível.
Conclusão: a região factível é o triângulo com vértices
Passo 5
Avalio a função objetivo
em cada vértice:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Comparando:
. O maior é
.
Passo 6
Logo o faturamento máximo é
e é atingido em
: produzir apenas
toneladas de
e zero de
.
Passo 7
Análise de utilização dos recursos (calculo do consumo nas quantidades ótimas):
Com
:
- Uso de
:
Disponibilidade de
é
, então
está totalmente utilizado (folga zero).
- Uso de
:
Disponibilidade de
é
, então sobra
unidades de
(folga positiva).
Interpretação:
é um recurso limitante (insuficiente para ampliar a produção nessa direção) — a restrição de
está vinculada (binding).
está subutilizado (há sobra de
unidades), ou seja, não limita o faturamento atual.
Resposta
(1)
(2) toneladas de
e
toneladas de
.
(3) usado:
de
(totalmente utilizado — insuficiente/binding).
usado:
de
(sobra de
— subutilizado).
(2)
(3)