Exercício proposto 5

Proponha um modelo matemático para uma situação e/ou operação que envolva fenômenos de transferência de massa. Na apresentação do referido modelo procure atender a sequência dos itens:
1ㅇ) Definição do domínio geométrico onde o processo de transferência de massa ocorre;
20) Defina o potencial de transporte e propriedades físicas a serem consideradas;
3ㅇ) Apresente a equação governante da transferência de massa, explicando o significado de cada termo considerado;
4ㅇ) Esbaleça as condições iniciais para o domínio;
5ㅇ) Apresente as condições de contorno com os correspondentes significados físicos;
60) Quais informações tal modelo estaria em condições de fornecer? Como essas informações poderiam ser utilizadas no desenvolvimento de um estudo e/ou projeto relacionado?

Passo 1

O enunciado pede para montar um modelo matemático de transferência de massa, passando por definição de domínio geométrico, potencial de transporte, equação governante, condições iniciais e de contorno, e por fim discutir o que o modelo pode fornecer. O conteúdo é dinâmica de transporte (difusão) de espécies, e vamos precisar de conceitos de concentração, coeficiente de difusão e balanço de massa.

Passo 2

Definimos um domínio unidimensional, por simplicidade: uma lâmina ou filme plano de espessura L. O domínio geométrico é
0 \le x \le L,
onde x é a coordenada perpendicular à superfície do filme e toda a transferência de massa ocorre ao longo dessa direção.

Passo 3

O potencial de transporte é a concentração da espécie A, denotada por c(x,t). As propriedades físicas necessárias são:
– coeficiente de difusão em regime isotrópico, D (constante);
– densidade do meio se houver volume fixo (aqui assumimos volume constante);
– temperatura uniforme (assim D não depende de x nem t).

Passo 4

A equação governante é o balanço de massa com difusão unidimensional e sem geração química interna:
\frac{\partial c}{\partial t} = D\,\frac{\partial^2 c}{\partial x^2}.
Aqui:
\displaystyle \frac{\partial c}{\partial t} é a variação temporal da concentração;
D é o coeficiente de difusão molecular;
\displaystyle \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} representa o gradiente de fluxo de massa segundo a lei de Fick.

Passo 5

Escolhemos condição inicial uniforme no filme:
c(x,0) = c_0, \quad \text{para }0 \le x \le L,
onde c_0 é a concentração inicial em todo o domínio.

Passo 6

Apresentamos duas condições de contorno típicas:
  1. Na face x=0, contato com reservatório de concentração constante c_s:
c(0,t) = c_s, \quad t>0.
Isto modela um banho ou atmosfera onde a espécie está em quantidade abundante.
  1. Na face x=L, isolamento sem fluxo (parede impermeável):
\left.\frac{\partial c}{\partial x}\right|_{x=L} = 0, \quad t>0.
Isto significa que não há troca de massa na superfície oposta.

Passo 7

O modelo permite obter:
– o perfil de concentração c(x,t) ao longo do filme e do tempo;
– o fluxo de massa na superfície x=0, dado por -D\,(\partial c/\partial x)_{x=0};
– o tempo de acomodação até quase equilíbrio (ou regime estacionário completo).
Essas informações ajudam a dimensionar a espessura L necessária, estimar tempos de difusão para secagem ou impregnamento, e projetar equipamentos como reatores fixos ou membranas de separação.

Resposta

O modelo consiste na equação de difusão unidimensional
\frac{\partial c}{\partial t} = D\,\frac{\partial^2 c}{\partial x^2},
no domínio 0\le x\le L, com condição inicial c(x,0)=c_0, contorno de concentração fixa c(0,t)=c_s e contorno isolante \bigl.\partial c/\partial x\bigr|_{x=L}=0. O modelo fornece perfis de concentração e fluxos de massa ao longo do tempo, úteis para projeto de processos de secagem, impregnação ou separação.

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