Demonstre que:
as unidades de \kappa, \alpha \mathrm{e} \beta são, respectivamente, \mathrm{Pa}^{-1}, \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{e} adimensional.

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos as unidades de três coeficientes termodinâmicos: a compressibilidade isoterma \kappa, o coeficiente de expansão térmica isobárica \alpha e o coeficiente adimensional \beta. Para isso vamos usar as definições
\kappa \;=\;-\,\frac{1}{V}\,\Bigl(\frac{\partial V}{\partial p}\Bigr)_{T}, \quad \alpha \;=\;\frac{1}{V}\,\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{p}, \quad \beta \;=\;\frac{T}{p}\,\Bigl(\frac{\partial p}{\partial T}\Bigr)_{V},
e a análise de dimensões de cada termo.

Passo 2

Analisando \kappa: \displaystyle V tem dimensão de volume, ou seja [\!V\!]=\mathrm{m^{3}}. \displaystyle p tem dimensão de pressão, [\!p\!]=\mathrm{Pa}.
Logo \displaystyle \Bigl(\frac{\partial V}{\partial p}\Bigr)_{T} tem dimensão
\frac{[V]}{[p]} \;=\;\frac{\mathrm{m^{3}}}{\mathrm{Pa}}\;=\;\mathrm{m^{3}\,Pa^{-1}}.
Multiplicando por 1/V (dimensão \mathrm{m^{-3}}) obtemos
[\kappa]\;=\;[\!V\!]^{-1}\;\times\;\mathrm{m^{3}\,Pa^{-1}} \;=\;\mathrm{Pa^{-1}}.

Passo 3

Analisando \alpha: \displaystyle T tem dimensão de temperatura, [\!T\!]=\mathrm{K}. \displaystyle \Bigl(\tfrac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{p} tem dimensão
\frac{[V]}{[T]} \;=\;\frac{\mathrm{m^{3}}}{\mathrm{K}}\;=\;\mathrm{m^{3}\,K^{-1}}.
Multiplicando por 1/V (dimensão \mathrm{m^{-3}}) obtemos
[\alpha]\;=\;[\!V\!]^{-1}\;\times\;\mathrm{m^{3}\,K^{-1}} \;=\;\mathrm{K^{-1}}.

Passo 4

Analisando \beta: \displaystyle p tem dimensão \mathrm{Pa}, \displaystyle T tem dimensão \mathrm{K},
e \displaystyle \Bigl(\tfrac{\partial p}{\partial T}\Bigr)_{V} tem dimensão
\frac{[p]}{[T]} \;=\;\frac{\mathrm{Pa}}{\mathrm{K}}\;=\;\mathrm{Pa\,K^{-1}}.
Multiplicando por T/p (dimensão \mathrm{K\,Pa^{-1}}) obtemos
[\beta]\;=\;\bigl[\tfrac{T}{p}\bigr]\;\times\;\mathrm{Pa\,K^{-1}} \;=\;\mathrm{K\,Pa^{-1}}\times\mathrm{Pa\,K^{-1}} \;=\;1,
ou seja, adimensional.

Resposta

\kappa: \mathrm{Pa^{-1}} \alpha: \mathrm{K^{-1}} \beta: adimensional

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