Exercício 3: Prove que se
então
.
Passo 1
Estamos querendo provar uma propriedade básica de desigualdades em
: se
então, ao mudar o sinal de ambos, a desigualdade inverte e ficamos com
. Vamos usar axiomas de ordem que dizem que: (i) somar a mesma quantidade nos dois lados preserva a desigualdade e (ii) multiplicar por um número negativo inverte a desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
. Sabemos como axioma que
. Se somarmos
em ambos os lados dessa desigualdade, pelo axioma de adição, mantemos a ordem. Assim,
Passo 3
Passo 4
E como
e
, concluímos que
Passo 5
Passo 6
Agora que temos
, usamos o axioma de ordem para multiplicação: se
e
, então
. Tomando
,
e
, obtemos:
Passo 7
Passo 8
Finalmente, lembrando que
e
, a desigualdade vira
Passo 9
Passo 10
que é exatamente o que queríamos provar.