Exercício 3: Prove que se x<y então -x>-y.

Passo 1

Estamos querendo provar uma propriedade básica de desigualdades em R: se x<y então, ao mudar o sinal de ambos, a desigualdade inverte e ficamos com -x>-y. Vamos usar axiomas de ordem que dizem que: (i) somar a mesma quantidade nos dois lados preserva a desigualdade e (ii) multiplicar por um número negativo inverte a desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que -1<0. Sabemos como axioma que 0<1. Se somarmos -1 em ambos os lados dessa desigualdade, pelo axioma de adição, mantemos a ordem. Assim,

Passo 3

-1 + 0 < -1 + 1

Passo 4

E como -1+1=0 e -1+0=-1, concluímos que

Passo 5

-1 < 0

Passo 6

Agora que temos -1<0, usamos o axioma de ordem para multiplicação: se a<b e c<0, então ac>bc. Tomando a=x, b=y e c=-1, obtemos:

Passo 7

x < y e -1 < 0 Longrightarrow xcdot(-1) > ycdot(-1)

Passo 8

Finalmente, lembrando que xcdot(-1)=-x e ycdot(-1)=-y, a desigualdade vira

Passo 9

-x > -y,

Passo 10

que é exatamente o que queríamos provar.

Resposta

-x>-y

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