Determine se A=(x, y)| | x|+|y|=0 é um subespeço do espaço vetorial AA^2.
Justifique sua resposta.
(1 ponto)

Passo 1

O enunciado define
A=(x,y)inA^2mid |x|+|y|=0
e pede para verificar se A é subespaço de A^2.
Conteúdo: teoria de subespaços vetoriais. Vamos usar o fato que |x|>=0 e |y|>=0 e os critérios de subespaço (não vazio, fechado em soma e escalar).

Passo 2

Como |x| e |y| são sempre não negativos, a soma |x|+|y|=0 só é possível se e somente se
|x|=0 e |y|=0,
isto é, x=0 e y=0. Logo
A=(0,0)

Passo 3

Verificamos que o conjunto não é vazio: contém o vetor nulo (0,0). Logo satisfaz o primeiro critério de subespaço.

Passo 4

Para fechamento em soma: se u e v estão em A, então u=(0,0) e v=(0,0), daí
u+v=(0,0)+(0,0)=(0,0)in A
Para fechamento em multiplicação escalar: se u=(0,0)in A e lambda é escalar, então
lambdau=lambda(0,0)=(0,0)in A
Portanto A é fechado nas operações do espaço.

Resposta

Sim. A=(0,0) é o subespaço trivial de A^2.

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