Exercício 6: Prove que se
e
, então
.
Passo 1
Estamos para provar que, se temos dois números reais tais que
e
, então o produto
também é negativo. O conteúdo aqui é propriedades de ordenação nos reais, em especial como a multiplicação por um número positivo preserva desigualdades.
Passo 2
Na teoria de ordenação dos reais, existe o seguinte axioma: se
e
, então multiplicando ambos os lados por
(positivo) mantemos a desigualdade, ou seja,
.
Passo 3
Aplicamos esse axioma ao nosso problema tomando
,
e
. Como sabemos que
, multiplicamos a desigualdade por
e obtemos
Passo 4
Sabendo que o produto de qualquer número com zero é zero (isto é,
), concluímos que