Exercício 6: Prove que se x>0 e y<0, então x y<0.

Passo 1

Estamos para provar que, se temos dois números reais tais que x>0 e y<0, então o produto xcdot y também é negativo. O conteúdo aqui é propriedades de ordenação nos reais, em especial como a multiplicação por um número positivo preserva desigualdades.

Passo 2

Na teoria de ordenação dos reais, existe o seguinte axioma: se a>0 e b<c, então multiplicando ambos os lados por a (positivo) mantemos a desigualdade, ou seja, acdot b < acdot c.

Passo 3

Aplicamos esse axioma ao nosso problema tomando a=x>0, b=y e c=0. Como sabemos que y<0, multiplicamos a desigualdade por x>0 e obtemos
xcdot y < xcdot 0

Passo 4

Sabendo que o produto de qualquer número com zero é zero (isto é, xcdot 0=0), concluímos que
xcdot y < 0

Resposta

xcdot y<0

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